Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Đây là bài học cuối cùng của chương IV: Phương trình bậc hai một ẩn. Chúng ta sẽ đi đến phương pháp Giải toán bằng cách lập phương trình, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai, đặt điều kiện thích hợp rồi tìm ra lời giải.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương pháp giải

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn

Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp

1.2. Các dạng toán cơ bản

Dạng toán chuyển động

Dạng toán kết hợp các đại lượng hình học

Dạng toán làm việc chung 1 tập thể, làm việc cá nhân

Dạng toán nước chảy

Dạng toán tìm số

Dạng toán kết hợp vật lý, hóa học

...

Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết chúng hơn kém nhau 4 đơn vị và tích của chúng bằng 320.

Hướng dẫn: Gọi hai số đó là \(a, b (a>b)(a;b\epsilon \mathbb{N})\)

Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} a-b=4\\ ab=320 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+4\\ b(b+4)=320 \end{matrix}\right.\)

\(b=-20\)(loại)

\(b=16\Rightarrow a=20\)

Bài 2: Bạn Thu đi từ A đến B cách nhau 120 km trong thời gian đã dự định. Sau 1 giờ, Thu nghỉ 10 phút, do đó để Thu đến B đúng hẹn nên phải tăng vận tốc thêm \(6km/h\). Tính vận tốc ban đầu của Thu.

Hướng dẫn: Gọi vận tốc ban đầu của Thu là \(x(km/h); (x>0)\)

Thời gian dự định đến B là \(\frac{120}{x}\)(h)

Sau 1 giờ, quãng đường Thu đi được là x km, quãng đường còn lại là \(120-x\)

Thời gian đi quãng đường còn lại là \(\frac{120-x}{x+6}\)(h)

Ta có phương trình: \(\frac{120}{x}=1+\frac{10}{60}+\frac{120-x}{x+6}\)

\(\Leftrightarrow x^2+42x-4320=0\)

\(x=48\) (nhận)

\(x=-90\) (loại)

Bài 3: Tính diện tích của tam giác vuông biết cạnh huyền có độ dài là \(15 cm\)và tổng độ dài hai cạnh góc vuông là \(21 cm\).

Hướng dẫn: Gọi cạnh của góc vuông là \(x(cm)(x>0)\), vậy cạnh còn lại là \(21-x\)

Theo đề và định lí Py ta go, ta có: \(15^2=x^2+(21-x)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-21x+108=0\)

\(\Leftrightarrow x=9\) hoặc \(x=12\)

Vậy độ dài 2 cạnh góc vuông là \(9cm\) và \(12cm\)

Diện tích tam giác vuông: \(S=\frac{1}{2}9.12=54(cm^2)\)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Tích hai số chẵn liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 322. Tìm 2 số đó

Hướng dẫn: gọi số nhỏ là \(x(x>0;x\epsilon \mathbb{N})\) vậy số còn lại là \(x+2\)

Theo đề, ta có: \(x(x+2)-x-x-2=322\Leftrightarrow x^2=324\Leftrightarrow x=18\)

Vậy 2 số cần tìm là 18 và 20

Bài 2: Một đội công nhân hoàn thành công việc gồm 420 sản phẩm. Nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày làm việc sẽ giảm bớt đi 7 ngày. Tìm số công nhân.

Hướng dẫn: Gọi số công nhân là \(x(x>0;x\epsilon \mathbb{N})\)

Số ngày hoàn thành vs x người là \(\frac{420}{x}\) (ngày)

Số công nhân sau khi tăng thêm là: \(x+5\)

Số ngày hoàn thành mới là \(\frac{420}{x+5}\) (ngày)

Ta có phương trình sau: \(\frac{420}{x}-\frac{420}{x+5}=7\)

Giải phương trình trên ta được

\(x=15\) (nhận)

\(x=20\) (loại)

Vậy số người công nhân là 15 người