Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$, trong nhiều trường hợp nếu đặt $b=2b^{\prime }(b⋮2)$ thì liệu việc tính toán có đơn giản hơn?

$b=2b^{\prime }\Rightarrow \mathrm{\Delta }=(2b^{\prime }{)}^2-4ac=4b^{\prime 2}-4ac=4(b^{\prime 2}-ac)$

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$

Từ đó, ta đi đến các kết luận sau đây:

Với các phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$ thì:

Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a};x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}$

Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x=\frac{-b^{\prime }}{a}$

Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Chúng ta sẽ cùng đi vài ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: $3x^2+10x+5=0$

Giải: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=5^2-5.3=10>0\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{10}$

Vậy $x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3};x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$

Ví dụ 2: 

Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: $5x^2-6\sqrt{2}x+1=0$

Giải: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(3\sqrt{2}{)}^2-5.1=13>0\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=13$

Vậy $x_1=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5};x_2=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{13}}{5}$

Bài 1: Giải phương trình bằng công thức rút gọn sau:

$x^2+6x-11=0$ ; $x^2-4\sqrt{2}x-7=0$

Hướng dẫn: $x^2+6x-11=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-1.(-11)=20>0\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=2\sqrt{5}$

$x_1=-3+2\sqrt{5};x_2=-3-2\sqrt{5}$

Tương tự đối với phương trình: $x^2-4\sqrt{2}x-7=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-2\sqrt{2}{)}^2-1.(-7)=15>0\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{15}$

$x_1=2\sqrt{2}+\sqrt{15};x_2=2\sqrt{2}-\sqrt{15}$

Bài 2: Giải phương trình bằng công thức thu gọn sau:

$3x^2+18x+29=0$ ; $x^2-16x+64=0$

Hướng dẫn: $3x^2+18x+29=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=9^2-29.3=81-87=-6<0$ 

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

$x^2-16x+64=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-8{)}^2-64.1=0$

Vậy phương trình có nghiệm kép $x=-\frac{-8}{1}=8$

Bài 3: Không giải phương trình, hãy xác định xem phương trình có bao nhiêu nghiệm?

$x^2+6x-11=0$ ; $x^2+7x+18=0$

Hướng dẫn: $x^2+6x-11=0$

Ta nhận thấy rằng hệ số a và c trái dấu nhau nên "theo bài trước", ta có phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

$x^2+7x+18=0$

$\mathrm{\Delta }=7^2-4.18.1=49-72=-23<0$

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình $x^2+2mx-m+4=0$ có nghiệm.

Hướng dẫn: Ta tính biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ của phương trình trên:

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-m+4$

Để phương trình trên có nghiệm thì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0\iff m^2-m+4=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}+3,75>0\mathrm{\forall }mϵ\mathbb{R}$

Vậy, phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình $x^2-mx+m-1=0$ có đúng 1 nghiệm duy nhất

Hướng dẫn: Ta tính biệt thức $\mathrm{\Delta }$ của phương trình trên:

$\mathrm{\Delta }=(-m{)}^2-4m+4=m^2-4m+4=(m-2{)}^2$

Để phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \mathrm{\Delta }=0\iff m=2$

Vậy với $m=2$ thì phương trình trên có nghiệm duy nhất.

Qua bài giảng Công thức nghiệm của phương trình bậc hai này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Không giải phương trình, số nghiệm của phương trình $x^2+4x-2017=0$ là:

   

  • A. 1 nghiệm
  • B. 2 nghiệm
  • C. vô nghiệm
  • D. vô số nghiệm

• Câu 2:

  Cho phương trình tham số m: $x^2-mx+4=0$. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình trên vô nghiệm:

  • A. \(-4
  • B. $m<4$
  • C. $m=4$
  • D. $m>4$

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2

Bài tập 17 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 18 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 19 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 20 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 21 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 22 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 23 trang 50 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 24 trang 50 SGK Toán 9 Tập 2

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.