Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Định nghĩa

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)

Đây không phải là phương trình bậc hai, nhưng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cụ thể là: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\) lúc đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\), chúng ta tiến hành giải phương trình bậc hai rồi so điều kiện, trả về ẩn x của bài toán ban đầu.

Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được 

Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm

Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:

Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....

Bài 1: Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-8x^2+7=0\)

Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)

Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-8t+7=0\)

Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được: 

\(t=1\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm 1\)

\(t=7\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}\)

Bài 2: Giải phương trình sau: \(\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}\)

Hướng dẫn: Điều kiện: \(x\neq \pm 3\)

Với điều kiện trên, phương trình trở thành: \(x^2-3x+6=x+3\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

\(x=1\)(nhận)

\(x=3\)(loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\)

Bài 3: Giải phương trình tích sau: \((x-3)(x^4+3x^2+2)=0\)

Hướng dẫn: Với bài toán trên, ta suy ra:

\(x-3=0(1)\) hoặc \(x^4+3x^2+2=0(2)\)

Giải (1) \(\Rightarrow x=3\)

Giải (2), ta thấy rằng đây là một phương trình trùng phương, tiến hành đặt \(t=x^2(t\geq 0)\)

pt (2) trở thành \(t^2+3t+2=0\)

\(t=-1\) (loại)

\(t=-2\) (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=3\)

Bài 1: Giải phương trình: \((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)

Hướng dẫn: Ta sử dụng hằng đẳng thức \(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)

\((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)

\(\Leftrightarrow (x^2+2x-5+x^2-x+5)(x^2+2x-5-x^2+x-5)=0\)

\(\Leftrightarrow (2x^2+x)(3x-10)=0\)

Giải các phương trình cơ bản, ta dễ dàng suy ra

\(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{2}\) hoặc \(x=\frac{10}{3}\)

Bài 2: Giải phương trình \(2x+\sqrt{x}=8-11\sqrt{x}\)

Hướng dẫn: Điều kiện:\(x\geq 0\)

Khi đó, ta đặt \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\)

Phương trình trở thành: \(2t^2+t=8-11t\Leftrightarrow 2t^2+12t-8=0\Leftrightarrow t^2+6t-4=0\)

Giải phương trình bậc hai ẩn t, ta được:

\(t=-3+\sqrt{13}\) (nhận)\(\Rightarrow x=(-3+\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}\)

\(t=-3-\sqrt{13}\) (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=22-6\sqrt{13}\)

Qua bài giảng Phương trình quy về phương trình bậc hai này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Biết cách giải phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 7 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Phương trình trùng phương \(ax^4+bx^2+c=0(a\neq 0)\) có tối đa mấy nghiệm thực:

   

  • A. 1 nghiệm
  • B. 2 nghiệm
  • C. 3 nghiệm
  • D. 4 nghiệm

• Câu 2:

  Nghiệm của phương trình \(x^4+5x^2-6=0\) là:

  • A. -2
  • B. 3
  • C. 2 hoặc -3
  • D. PT vô nghiệm

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2

Bài tập 34 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 35 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 38 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 39 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 40 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.