Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Với \(a\geq 0;b\geq 0\), liệu \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\) ?

Một cách tổng quát:

Với hai biểu thức A, B mà \(B\geq 0\), ta có \(\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}\), tức là:
Nếu \(A\geq 0; B\geq 0\Rightarrow \sqrt{A^2B}=A\sqrt{B}\)

Nếu \(A<0; B\geq 0\Rightarrow \sqrt{A^2B}=-A\sqrt{B}\)

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là đưa thừa số vào trong dấu căn.

Một cách tổng quát:

Với \(A\geq 0;B\geq 0\Rightarrow A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\)

Với \(A<0;B\geq 0\Rightarrow A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\)

Khi biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai, người ta có thể sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn.

Một cách tổng quát: 

Với \(A\geq 0;B\neq 0\Rightarrow \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{|B|}\)

Một cách tổng quát:

Với các biểu thức A, B mà \(B>0\), ta có: \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}\)

Với các biểu thức A, B, C mà \(A\geq 0, A\neq B^2\), ta có \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\pm B)}{A-B^2}\)

Với các biểu thức A, B, C mà \(A,B\geq 0;A\neq B\), ta có \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\pm \sqrt{B})}{A-B}\)

Bài 1: 

Viết các số sau dưới dạng tích rồi đưa ra ngoài dấu căn:  \(\sqrt{54}\) ; \(0,1\sqrt{20000}\)

Hướng dẫn giải: 

\(\sqrt{54}=\sqrt{9.6}=\sqrt{3^2.6}=3\sqrt{6}\)

\(0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{2.10^4}=100.0,1\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)

Bài 2:

Đưa thừa số vào trong dấu căn: \(6\sqrt{3}\) ; \(-\frac{1}{6}\sqrt{ab}; (ab\geq 0)\)

Hướng dẫn giải:

\(6\sqrt{3}=\sqrt{6^2.3}=\sqrt{108}\)

\(-\frac{1}{6}\sqrt{ab}=-\sqrt{\frac{1^2}{6^2}ab}=-\sqrt{\frac{ab}{36}}\)

Bài 3: 

Rút gọn các biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều có nghĩa)

\(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\) ; \(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}\)

Hướng dẫn giải:

 \(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}\)

Bài 1: 

Rút gọn biểu thức sau với x không âm: \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\)

Hướng dẫn giải:

\(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28=3\sqrt{2x}-5\sqrt{2^2.2x}+6\sqrt{3^2.2x}+28=3\sqrt{2x}-10\sqrt{2x}+21\sqrt{2x}+28=28(\sqrt{2x}+1)\)

Bài 2: 

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}\) với x, y không âm.

Hướng dẫn giải:

\(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\)
\(=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{x}+\sqrt{y})=(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})\)

Qua bài giảng Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai
• Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai

• Khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc hai

• Trục căn thức bậc hai ở mẫu

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Biểu thức \(\sqrt{7+\sqrt{48}}\) sau khi rút gọn là:

  • A. \(2+\sqrt{3}\)
  • B. \(3+\sqrt{5}\)
  • C. \(3+\sqrt{3}\)
  • D. \(2+\sqrt{5}\)

• Câu 2:

  Khi trục căn thức của biểu thức \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) ta được:

  • A. \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
  • B. \(\sqrt{3}+2\)
  • C. \(\sqrt{3}-2\)
  • D. \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

• Câu 3:

  Biểu thức \(\sqrt{50(5+a)^5}\) với \(a\geq -5\) sau khi rút gọn là:

     

  • A. \(5(5+a)^4\sqrt{5+a}\)
  • B. \(5(5+a)^2\sqrt{5+a}\)
  • C. \(25(5+a)^4\sqrt{5+a}\)
  • D. \(25(5+a)^2\sqrt{5+a}\)

• Câu 4:

  Biểu thức \(\frac{5+2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}\) được rút gọn có giá trị là: 

  • A. \(49+20\sqrt{6}\)
  • B. \(49-20\sqrt{6}\)
  • C. \(48-20\sqrt{6}\)
  • D. \(48+20\sqrt{6}\)

• Câu 5:

  Đơn giản biểu thức \(\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}}\) ta được:

  • A. \(\sqrt{6}\)
  • B. \(2\sqrt{6}\)
  • C. \(4\)
  • D. \(4\sqrt{6}\)

• Câu 6:

  Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. \(0,1\sqrt {40000}  = 20\)
  • B. \( - 0,005\sqrt {62500}  =  - 1,25\)
  • C. \( - \frac{3}{{11}}\sqrt {11.99{m^2}}  =  - 9|m|\)
  • D. A, B, C đều đúng

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 46 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 47 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 48 trang 29 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 49 trang 29 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 50 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 51 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 52 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 53 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 54 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 55 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 56 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 57 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.