Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai

Trong bài học căn thức bậc hai này, các em sẽ được làm quen với các khái niệm cơ bản để biểu thức căn có nghĩa, rút gọn biểu thức và tính toán các giá trị.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn, hay biểu thức dưới dấu căn.
$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi A có giá trị không âm

1.2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Định lý: Với mọi số thực a, ta có $\sqrt{a^{2}} = | a |$

Lưu ý: Một cách tổng quát, với A là một biểu thức, ta có $\sqrt{A^{2}} = | A |$ , có nghĩa là
$\sqrt{A^{2}} = A$ nếu A không âm
$\sqrt{A^{2}} = - A$ nếu A âm.

Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có nghĩa:
$\sqrt{\frac{a}{4}}$ ; $\sqrt{4 a - 9}$

Hướng dẫn: Để biểu thức $\sqrt{\frac{a}{4}}$ có nghĩa thì $\frac{a}{4} \geq 0$ $\Leftrightarrow a \geq 0$

Tương tự, $\sqrt{4 a - 9}$ có nghĩa thì $4 a - 9 > 0 \Leftrightarrow a \geq \frac{9}{4}$

Bài 2: Rút gọn biểu thức:
$\sqrt{(3 - \sqrt{11})^{2}}$ ; $3 \sqrt{(a - 2)^{2}}$ với $a < 2$

Hướng dẫn: Ta có $\sqrt{(3 - \sqrt{11})^{2}} = | 3 - \sqrt{11} | = \sqrt{11} - 3$ vì $\sqrt{11} > 3$

Tương tự $\sqrt{(a - 2)^{2}} = | a - 2 | = 2 - a$ vì $a < 2$ , vậy $3 \sqrt{(a - 2)^{2}} = 6 - 3 a$

Bài 3: Tìm x biết:
$\sqrt{x^{2}} = | - 7 |$ ; $\sqrt{9 x^{2}} = | - 12 |$

Hướng dẫn: $\sqrt{x^{2}} = | - 7 | = 7 \Leftrightarrow x^{2} = 49 \Leftrightarrow x = \pm 7$

Tương tự $\sqrt{9 x^{2}} = | - 12 | = 12 \Leftrightarrow 9 x^{2} = 144 \Leftrightarrow x^{2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4$

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Giải phương trình: $x^{2} - 2 \sqrt{11} x + 11 = 0$

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}

{x^2} - 2\sqrt {11} x + 11 = 0\
\Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\sqrt {11} + {(\sqrt {11} )^2} = 0\
\Leftrightarrow {(x - \sqrt {11} )^2} = 0
\end{array}\)
Vậy $x = \sqrt{11}$

Bài 2: Chứng minh rằng: $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \sqrt{3} = - 1$
Hướng dẫn: Nhận thấy $4 - 2 \sqrt{3} = 1^{2} - 2.1 . \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2} = (1 - \sqrt{3})^{2}$
Vậy $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = | 1 - \sqrt{3} | = \sqrt{3} - 1$ (vì $\sqrt{3} > 1$ )
Biến đổi vế trái, ta có $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} = - 1 = V P \Rightarrow d p c m$