Ôn tập chương 1 Căn bậc hai, căn bậc ba

Các công thức biến đổi căn thức

1. $\sqrt{A^2}=|A|$

2. $\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ (với $A\ge 0;B\ge 0$)

3. $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (với $A\ge 0;B>0$)

4. $\sqrt{A^{2}B}=|A|\sqrt{B}$ (với $B\ge 0$)

5. $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$ (với $A\ge 0;B\ge 0$)

$A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$ (với $A<0;B\ge 0$)

6. $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|}\sqrt{AB}$ (với $AB\ge 0;B\ne 0$)

7. $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}$ (với $B>0$)

8. $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}$ (với $A\ge 0;A\ne B^2$)

9. $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$ (với $A\ge 0;B\ge 0;A\ne B$)

Các bài tập trọng tâm của chương

Bài 1: Tính cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích hình vuông đó bằng diện tích hình chữ nhật có chiều dài là $16m$ và chiều rộng là $9m$.

Hướng dẫn: Diện tích của hình chữ nhật là: $16.9=144(m^2)$

Theo đề, diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật nên cạnh a của hình vuông là: $a^2=\sqrt{144}\iff a=12(m)$

Bài 2: Giải phương trình: $x^2-2\sqrt{13}x+13=0$

Hướng dẫn:

$x^2-2\sqrt{13}x+13=0$ $\iff x^2-2\sqrt{13}x+(\sqrt{13}{)}^2=0$$\iff (x-\sqrt{13}{)}^2=0$

$\iff x=\sqrt{13}$

Bài 3: Không dùng máy tính, so sánh hai số $\sqrt{16+64}$ và $\sqrt{16}+\sqrt{64}$. Từ đó rút ra nhận xét gì

Hướng dẫn: $\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

$\sqrt{16}+\sqrt{64}=4+8=12$

Vậy $\sqrt{16}+\sqrt{64}>\sqrt{16+64}$

Bài 4: Không dùng máy tính, so sánh hai số $\sqrt{100-64}$ và $\sqrt{100}-\sqrt{64}$. Từ đó rút ra nhận xét gì

Hướng dẫn: $\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$

$\sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2$

Vậy $\sqrt{100-64}>\sqrt{100}-\sqrt{64}$

Nhận xét: Với hai số dương a, b, $a>b$ ta có: $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=a+b-2\sqrt{ab}$

$(\sqrt{a-b}{)}^2=a-b$

$(\sqrt{a-b}{)}^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=a-b-a-b+2\sqrt{ab}=2(\sqrt{ab}-b)$

$=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0$

Vậy $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$

Bài 5: Rút gọn biểu thức chứa biến sau: $(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1})(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1})$

Hướng dẫn: 

Điều kiện: $a\ge 0;a\ne 1$

Với điều kiện trên:

$(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1})(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1})$

$=\left(1+\sqrt{a}\right).\left(1-\sqrt{a}\right)$$=1-a$

Bài 6: Thực hiện phép tính: $A=\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}}$ 

Hướng dẫn: Do A dương nên bình phương đẳng thức, ta được:

$A^2=5+5+\sqrt{24}-\sqrt{24}+2\sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})}=12$

Vậy $A=3\sqrt{2}$

Bài 7: Giải phương trình: $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=2$

Hướng dẫn:

Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$

Với điều kiện trên, đặt $\sqrt{2x-1}=a(a\ge 0);\sqrt{x}=b(b\ge 0)$

Ta có: $a^2=2x-1;b^2=x$$\Rightarrow a^2-2b^2=-1$

Mặc khác: $a+b=2$

Ta đưa vào hệ: $\{\begin{array}{c}a+b=2\\ a^2-2b^2=-1\end{array}$

Giải hệ trên bằng phương pháp thế:

$\{\begin{array}{c}a=1\\ b=1\end{array}$ (nhận) và $\{\begin{array}{c}a=7\\ b=-5\end{array}$(không nhận)

Với $a=1\iff x=1$

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình