Ôn tập chương 1 Căn bậc hai, căn bậc ba

Các công thức biến đổi căn thức

1. \(\sqrt{A^2}=|A|\)

2. \(\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))

3. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (với \(A\geq 0;B>0\))

4. \(\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}\) (với \(B\geq 0\))

5. \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))

\(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\) (với \(A<0;B\geq 0\))

6. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|}\sqrt{AB}\) (với \(AB\geq 0;B\neq 0\))

7. \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}\) (với \(B>0\))

8. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}\) (với \(A\geq 0;A\neq B^2\))

9. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0;A\neq B\))

Các bài tập trọng tâm của chương

Bài 1: Tính cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích hình vuông đó bằng diện tích hình chữ nhật có chiều dài là \(16m\) và chiều rộng là \(9m\).

Hướng dẫn: Diện tích của hình chữ nhật là: \(16.9=144(m^2)\)

Theo đề, diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật nên cạnh a của hình vuông là: \(a^2=\sqrt{144}\Leftrightarrow a=12(m)\)

Bài 2: Giải phương trình: \(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\)

Hướng dẫn:

\(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\sqrt{13}x+(\sqrt{13})^2=0\)\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{13})^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{13}\)

Bài 3: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{16+64}\) và \(\sqrt{16}+\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì

Hướng dẫn: \(\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)

\(\sqrt{16}+\sqrt{64}=4+8=12\)

Vậy \(\sqrt{16}+\sqrt{64}>\sqrt{16+64}\)

Bài 4: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{100-64}\) và \(\sqrt{100}-\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì

Hướng dẫn: \(\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\)

\(\sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2\)

Vậy \(\sqrt{100-64}>\sqrt{100}-\sqrt{64}\)

Nhận xét: Với hai số dương a, b, \(a>b\) ta có: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\)

\((\sqrt{a-b})^2=a-b\)

\((\sqrt{a-b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-b-a-b+2\sqrt{ab}=2(\sqrt{ab}-b)\)

\(=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0\)

Vậy \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\)

Bài 5: Rút gọn biểu thức chứa biến sau: \(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)

Hướng dẫn: 

Điều kiện: \(a\geq 0;a\neq 1\)

Với điều kiện trên:

\(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)

\( = \left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a } \right)\)\(=1-a\)

Bài 6: Thực hiện phép tính: \(A=\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}}\) 

Hướng dẫn: Do A dương nên bình phương đẳng thức, ta được:

\(A^2=5+5+\sqrt{24}-\sqrt{24}+2\sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})}=12\)

Vậy \(A=3\sqrt{2}\)

Bài 7: Giải phương trình: \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=2\)

Hướng dẫn:

Điều kiện: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Với điều kiện trên, đặt \(\sqrt{2x-1}=a(a\geq 0);\sqrt{x}=b(b\geq 0)\)

Ta có: \(a^2=2x-1;b^2=x\)\(\Rightarrow a^2-2b^2=-1\)

Mặc khác: \(a+b=2\)

Ta đưa vào hệ: \(\left\{\begin{matrix} a+b=2\\ a^2-2b^2=-1 \end{matrix}\right.\)

Giải hệ trên bằng phương pháp thế:

\(\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\right.\) (nhận) và \(\left\{\begin{matrix} a=7\\ b=-5 \end{matrix}\right.\)(không nhận)

Với \(a=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình