Bài 2: Tập hợp các số nguyên

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tập hợp các số nguyên

\(\mathbb{Z} = {\rm{\{ }}\underbrace {...{\rm{; - 3; - 2; - 1;}}}_{nguyen\,\,am}\underbrace {{\rm{0;}}}_{so\,\,0}\underbrace {{\rm{1;2;3;}}...}_{nguyen\,\,duong}{\rm{\} }}\)

-3; -2; -1 là các số nguyên âm

1, 2, 3 là các số nguyên dương (các số tự nhiên khác 0)

Số 0 là số nguyên không dương, không âm.

Trục ngang biểu diễn các số nguyên

-1 và 1 là hai số đối nhau

Tổng quát: a và –a là hai số đối nhau. Hai điểm biểu diễn hai số đối nhau đối xứng nhau qua điểm 0.

Chú ý:

+ \(N \subset \mathbb{Z}\). Đặc biệt \(N = {\mathbb{Z}_ + }\) (các số nguyên dương).

+ Các số \(a \ge 0\) gọi là các số không âm. a > 0 là số dương.

+ Các số \(a \le 0\) gọi là các số không âm. a < 0 là số âm.

Thứ tự trong \(\mathbb{Z}\)

- Mọi số không âm đều lớn hơn mọi số âm.

1 > - 1000; 0 > - 2012

- Số nguyên a bé hơn số nguyên b (a < b) thì điểm biểu diễn số a nhằm bên trái điểm biểu diễn số b trên trục số.

1.2. Giá trị tuyệt đối của số nguyên

\(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\\ - A\,neu\,\,A\, < 0\end{array} \right.\)

\(A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\) (tức giá trị tuyệt đối của số dương là chính nó)

- A nếu A< 0 (giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó)

Chú ý: Giá trị tuyệt đối của một số a bao giờ cũng là số không âm.

Viết:

|+3| = -|3| = 3: Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

|x| = -1 vô nghĩa.

\(\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}4 \Rightarrow a = \pm 4\) Đặc biệt |0| = 0

1.3. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho:

a) -4 < x < 2 b) -2 < x < 2 c) |x| < 3

d) -3 < |x| \( \le 4\) e) |x| > 5.

Giải

a) \(x \in {\rm{\{ - 3; - 2; - 1;0;1\} }}\)

b) \(x \in {\rm{\{ }} - 1;0;1\} \)

c) \(|x|\,\, < \,\,3 \Rightarrow - 3 < x < 3 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }} - 2; - 1;0;1;2\} .\)

d) \( - 3 < \,\,|x|\,\, \le 4\,\, \Rightarrow \,x \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4\} \)

e) \(|x|\,\,\, > 5 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }}...{\rm{; - 8; - 7; - 6;6;7;8;}}...{\rm{\} }}\)

Ví dụ 2: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho:

a) |x| = 9 và x < 0 b) |x| = 5

c) |x| = -12 d) |x| = |-2012|

Giải

a) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}9 \Rightarrow x = \pm 9\) kết hợp với x < 9 , ta suy ra x = - 9.

b) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}5 \Rightarrow x = \pm 5\)

c) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }} - 12 \Rightarrow x = \emptyset \,\,\)vì \(|x|\,\, \ge \,\,0\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\)

d) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| { - 2012} \right| = |2012|\, \Rightarrow x = \pm 2012.\)

Ví dụ 3: Tính

a) (|-24| : |-8|) – 1

b) (|1440| : |-32|) : |-5|.

Giải

a) |-24| = 24, |-8| = 8

nên (|-24| : |-8|) – 1 = (24 : 8) – 1 = 3 – 1 = 2.

b) (|1440| : |-32|) : |-5| = (1440 : 32) : 5 = 45 : 5 = 9.

Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm \(x,{\rm{ }}y \in \mathbb{Z}\) sao cho

a) |x| + |y| = 4.

b) \(\left| x \right|{\rm{ }} + {\rm{ }}\left| y \right|\,\,\, \le \,\,2\)

Giải

a) Vì |x| + |y| = 4 \( \Rightarrow \,\,|x|\,\, \le 4;\,\,|y|\,\,\, \le \,\,4.\)

Suy ra \(x \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\)

và \(y \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\)

Kết hợp |x| + |y| = 4 ta suy ra các cặp x, y như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm 4\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 4\\y = 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = \pm 3\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = \pm 1\end{array} \right.\)

b) \(|x|\,\, \le \,\,2;\,|y|\,\, \le \,\,2.\)

Bài 2: Chứng tỏ với mọi \(a \in \mathbb{Z}\), ta luôn có:

a) \(|a| + a \ge 0\) b) \(|a| - a \ge 0.\)

Giải

a.

Vì \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,neu\,\,a\, > \,0\\ - a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\) nên \(|a| = \pm a.\)

Suy ra \( \pm a + a = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a\,\, < 0\\2a\,\,khi\,\,a \ge 0\end{array} \right.\) tức \(|a|\,\, + \,\,a\,\, \ge 0.\)

b.

\(|a|\,\, - \,\,a\,\, = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - 2a\,\,khi\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\)

Vậy \(|a|\,\, - \,\,a\,\, \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{Z}\).

Bài 3:

a) Tìm x để |x - 1| + 2012 đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm x, y \( \in \mathbb{Z}\) biết rằng \(|x| + |y|\,\, \le 0\)

Giải

a) Vì \(|x - 1| + 2012 \ge 2012\) nên |x – 1| + 2012 nhỏ nhất là 2012.

Lúc đó x = 1.

b) x, y \( \in \mathbb{Z}\) thì \(|x|\,\, \in \,\,\mathbb{N},\,|y|\,\, \in \,\,\mathbb{N}\) nên \(|x|\,\, + \,|y|\,\, \ge 0\)

Theo đề bài \(|x|\,\, + \,\,|y|\,\, \le 0\) nên x = 0, y = 0.

3. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Số học 6

Qua bài giảng Tập hợp các số nguyên này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :

Khái niệm số nguyên
Giá trị tuyệt đối của số nguyên
Vận dụng lý thuyết làm 1 số bài tập liên quan đến tập số nguyên

3.1 Trắc nghiệm về Tập hợp các số nguyên - Số học 6

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
- A. Các số tự nhiên khác 0 còn gọi là các số nguyên dương
- B. Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số gọi là điểm a
- C. Các số -3; -2; -1 là các số nguyên âm
- D. Số 0 là số nguyên dương
Câu 2:
Số đối của các số -5; -2; 12; 24 lần lượt là:
- A. 5; 2; -12; -24
- B. -5; -2; -12; 24
- C. 5; 2; 12; -4
- D. 5; -2; -12; 24