Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Luyện tập

* Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kể từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông hay mình chiếu của điểm A xuống đường thẳng d.

* Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

* Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

* Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở  ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

* Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

a. Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

b. Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

c. Nếu hai đường chiếu xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ và BC.

Giải

Ta có: AC’ < AC nên B’C’ < B’C (định lý)

Lại có AB’ < AB nên B’C < BC (định lý)

Suy ra B’C’ < BC.

Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh rằng:

a. \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)

b. Kẻ \(BK \bot AC\) tại K, \(CL \bot AB\) tại L.

Chứng minh \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)

Giải

a. Ta có

AH là đường vuông góc

AB, AC là các đường xiên, nên:

AH < AB, AH < AC

Nên 2AH < AB + AC.

Hay \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)

b. Chứng minh tương tự như câu a, ta được: với BK, CL là các đường cao hạ từ B và C

\(\begin{array}{l}AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\\BK < \frac{1}{2}(BA + BC)\\CL < \frac{1}{2}(CA + CB)\end{array}\)

Từ ba điều trên ta suy ra: AH + BK + CL < AB + BC + CA

Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:

a. PA > CA

b. CP < CB

Giải

a. Ta có:

APC là góc ngoài tại P của \(\Delta BPC.\) Nên: \(\widehat {APC} = \widehat B + \frac{{\widehat C}}{2} > \frac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ACP}\)

Tam giác APC có:

\(\widehat {ACP} < \widehat {APC} \Rightarrow PA < CA\)

b. Ta có: AP < AB (gt)

\( \Rightarrow CP < CB\,\) (định lý)

Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)biết \(\widehat C < \widehat B < {90^0}.\) Kẻ \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\,\,(E \in BC,F \in AC).\) Gọi H là giao điểm của AE và BF. Chứng minh HB < HC.

Giải

Trong \(\Delta ABC\) có \(\widehat C < \widehat B\) nên AB < AC

Trong hai đường xiên AB, AC hạ từ A xuống BC vì AB < AC suy ra BE < EC (định lý)

Trong hai đường xiên HB, HC hạ từ H xuống BC vì có BE < EC suy ra HB < HC (định lý)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng bất kì đi qua A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên a.

a. Chứng minh CN bằng hình chiếu của AB trên xy.

b. Chứng minh rằng khi a // BC thì các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.

Giải

a. Ta có MA là hình chiếu của AB trên a.

Xét hai tam giác AHB và CHA có:

AB = AC (giả thiết)

\(\widehat B = \widehat A\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CHA\\ \Rightarrow MA = CN\end{array}\)

b. a // BC lúc đó các tam giác AMB và CAN là các tam giác vuông cân nên AM = AN nghĩa là các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ \(AH \bot BC.\) Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho BD = AE. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH.

Chứng minh rằng \(DE \bot AC \Rightarrow BC + AH > AC + AB\)

Giải

Theo giả thiết BD = AB nên \(\Delta ABD\) cân tại B

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BDA}\)

Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAE} = {90^0}\)và \(\widehat {BDA} = \widehat {DAM} = {90^0}\) (vì tam giác AHD vuông tại H)

\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {DAH}\)

Do đó \(\Delta DAE = \Delta DAH\)

\((AE = AH;\widehat {DAE} = \widehat {DAH}\) và AD chung)

\( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {AED} = {90^0}\) hay \(DE \bot AC\)

\( \Rightarrow CD > CE\)

Lại có: BD = BA; AH = AE (giả thiết)

\( \Rightarrow CD + BD + AH > CE + AE + BA\)

Hay BC + AH > AC + AB

Qua bài giảng Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu  này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
• Mối liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên; đường xiên và hình chiếu của chúng

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:

   

  • A. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất 
  • B. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đén đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
  • C. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu nhỏ hơn
  • D. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì đường xiên bằng nhau 

• Câu 2:

  Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:

   

  • A. AH  < BH
  • B. AH < AB
  • C. AH > BH
  • D. AH = BH

• Câu 3:

  Trong tam giác  ABC có chiều cao AH

  • A. Nếu BH < HC thì AB < AC
  • B. Nếu AB < AC thì BH < hc
  • C. Nếu BH = HC thì AB = AC
  • D. Cả A, B, C đều đúng 

• Câu 4:

  Chi hình vẽ sau:

  

  Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

  • A. MA > MH
  • B. HB < HC
  • C. MA = MB
  • D. MC < MA

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 9 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 10 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 11 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 12 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 14 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 8 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 13 trang 60 SGK Toán Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!