Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc - Luyện tập

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Giả thiết:

* M nằm trên tia phân giác của góc xOy

* $MA\mathrm{\perp }Ox,MB\mathrm{\perp }Oy$

Kết luận:

* MA = MB

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Giả thiết:

* M nằm trong góc xOy

* $MA\mathrm{\perp }Ox,MB\mathrm{\perp }Oy$

* MA = MB

Kết luận:

* M nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Nhận xét: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Các đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.

Giải

Ta có: $\widehat{C_1}=\widehat{B_1}$ (cùng phụ $\hat{A}$)  (1)

Suy ra: $\widehat{C_2}=\widehat{B_2}$

Do đó $\mathrm{\Delta }IBC$ cân tại tại I nên IB = IC (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\mathrm{\Delta }IHC=\mathrm{\Delta }IKB$ (cạnh huyền, góc nhọn)

Nên IH=IK

Vậy AI là phân giác của góc BAC.

Ví dụ 2: Cho góc vuông xOy và tam giác vuông cân ABC có $\hat{A}={90}^0$, B thuộc Ox, C thuộc Oy, A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc xOy.

Giải

Vẽ $AH\mathrm{\perp }Ox,AK\mathrm{\perp }Oy$

Xét $\mathrm{\Delta }KAC$ và $\mathrm{\Delta }HAB$ có:

$\widehat{KAC}=\widehat{HAB}$ (cùng phụ góc (CAH)

AC = AB (gt)

Nên $\mathrm{\Delta }KAC=\mathrm{\Delta }HAB$ (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra AK = AH

 Vậy OA là tia phân giác của góc xOy.

Ví dụ 3: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A. Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa A tam giác vuông cân CDB tại D. Chứng minh AD là phân giác củ góc BAC.

Giải

Ta có:

Hạ $DP\mathrm{\perp }AB,DQ\mathrm{\perp }AC$

Xét $\mathrm{\Delta }DBP$ và $\mathrm{\Delta }DCQ.$ Có $\hat{P}$ và $\hat{Q}=1v$

DB – DC (gt)

$\widehat{BDP}=\widehat{CDQ}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Vậy $\mathrm{\Delta }DBP=\mathrm{\Delta }DCQ(g.c.g)$

Suy ra DP = DQ

Điều này chứng tỏ D nằm trên phân giác của góc BAC, tức là AD là phân giác của góc BAC.

Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác ba phân giác của hai góc ngoài và một góc trong không kề với chúng gặp nhau tại một điểm.

Giải

Gọi K là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại B và C. Từ K hạ $KD\mathrm{\perp }BC,KE\mathrm{\perp }AB$ và $KF\mathrm{\perp }AC.$

Theo tính chất về đường phân giác ta có:

KD = KE và KD = KF

Suy ra KE = KF. Điều này chứng tỏ K nằm trên phân giác của góc BAC.

Vậy hai phân giác ngoài đỉnh B và C và phân giác trong tại đỉnh A của tam giác ABC cắt nhau tại một điểm.

Bài 2: Các phân giác ngoài của $\mathrm{\Delta }ABC$ cắt nhau tạo thành $\mathrm{\Delta }\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}$.

a, Tính các góc của $\mathrm{\Delta }\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}$theo các góc của $\mathrm{\Delta }ABC$

b. Chứng minh các phân giác trong của $\mathrm{\Delta }ABC$ đi qua các đỉnh E, F, G.

Giải

a. Kí hiệu như hình vẽ:

Trong $\mathrm{\Delta }GAB$ có: $\hat{G}={180}^0-\frac{1}{2}(\widehat{xAB}+\widehat{yBA})$

Mà $\widehat{yAB}=\hat{B}+\hat{C}$ (góc ngoài tại A của $\mathrm{\Delta }ABC)$

$\widehat{yBA}=\hat{A}+\hat{C}$ (góc ngoài tại B của $\mathrm{\Delta }ABC)$

Suy ra $\hat{G}={180}^0-\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{B}+2\hat{C})$

$={180}^0-\frac{1}{2}({180}^0+\hat{C})$ vì $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^0$

$={90}^0-\frac{1}{2}\hat{C}=\frac{{180}^0-\hat{C}}{2}=\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}-\hat{C}}{2}$

Vậy $\hat{G}=\frac{\hat{A}+\hat{B}}{2}$

Tương tự: $\hat{F}=\frac{\hat{A}+\hat{C}}{2}$

$\hat{E}=\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}$

b, Kẻ GH, GK, GM lần lượt vuông góc với AC, AB, BC.

Ta có: $GH=GK$ (vì G thuộc phân giác $\widehat{xAB}$ )

GK = GM (vì G thuộc phân giác $\widehat{yBA}$)

Suy ra GH = GM, nên G nằm trên đường phân giác của $\widehat{ACB}$ hay đường phân giác của góc C đi qua G.

Tương tự đường phân giác của góc B đi qua F, đường phân giác của góc A đi qua E.

Qua bài giảng Tính chất tia phân giác của một góc này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững định nghĩa, tính chất của tia phân giác của một góc

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 31 trang 70 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 32 trang 70 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 33 trang 70 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 34 trang 71 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 35 trang 71 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!