Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Luyện tập

Định lý 1: (Định lý thuận)

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Định lý 2: (Định lý đảo)

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì năm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo ta có: tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN bằng thước thẳng và compa; như sau:

* Lấy M làm tâm vẽ cung tròn có bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}MN$. Lấy N làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính đó.

Hai cung tròn này có hai điểm chung là P, Q.

* Dùng thước vẽ đường thẳng PQ. Đó đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Ví dụ 1: Cho $\mathrm{\Delta }ABC.$ Hãy tìm một điểm cách đều hai cạnh AB, AC và cách đều hai đỉnh A, B.

Giải

Mọi điểm trên đường phân giác của góc A thì cách đều hai cạnh AB, AC.

Mọi điểm trên đường trung trực của AB thì cách đều hai điểm A, B.

Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đường phân giác và đường trung trực nói trên.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng không tồn tại điểm cách đều, ba điểm thẳng hàng.

Giải

Giả sử tồn tại điêm O cách đều ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Suy ra OA = OB = OC.

Vì OA = OB nên O nằm trên đường trung trực $d_1$ của AB.

Vì OB = OC nên O nằm trên đường trung trực $d_2$ của BC.

Do đó O là giao điểm của 2 đường trung trực $d_1,d_2$ của AB và BC

Vì $d_1\mathrm{\perp }AB,d_2\mathrm{\perp }BC$ và A, B, C thẳng hàng nên $d_1//d_2$tại O.

Vậy không có điểm nào cách đều ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho m là đường trung trực của đoạn thẳng AB, C là điểm thuộc m. Gọi Cx là tia đối của tia CA, Cn là tia phân giác của góc BCx. Chứng minh rằng Cn vuông góc với m.

Giải

Gọi H là giao điểm của m và AB.

Xét $\mathrm{\Delta }AHC$ và $\mathrm{\Delta }BHC$ có HA = HB (H là điểm nằm trên đường trung trực của AB)

$\widehat{AHC}=\widehat{AHC}={90}^0$

CH là cạnh chung

Nên $\mathrm{\Delta }AHC=\mathrm{\Delta }BHC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ACH}=\widehat{BCH}$

Nên CH là tia phân giác của $\widehat{ACB}$

Cn là tia phân giác của $\widehat{BCx}$ (gt)

Như vậy m và Cn là hai tia phân giác của hai góc kề bù ACB và BCx nên $C_n\mathrm{\perp }m.$

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao điểm M cách đều hai điểm A, B.

Giải

Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB

Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

+ Nếu $AB\mathrm{\perp }d$ thì xy // d, ta không xác định được M.

+ Ngoài trường hợp $AB\mathrm{\perp }d$ luôn luôn xác định được điểm M, và M là điểm duy nhất.

Bài 2: Tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE=AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Giải

Nối BE và ED

Xét $\mathrm{\Delta }ADB$ và $\mathrm{\Delta }ADE$ có:

AB = AE (gt)

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$).

AD cạnh chung

Vậy $\mathrm{\Delta }ADB=\mathrm{\Delta }ADE(c.g.c)$

Suy ra DB = DE

Lại có AB = AE

Do đó AB là đường trung trực của BE.

Vậy $AD\mathrm{\perp }BE.$

Bài 3: Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ $MH\mathrm{\perp }AB.$ Trên đoạn MH lấy điểm P. Gọi E là giao điểm của AP với MB. Gọi F là giao điểm của BP với MA.

a. Chứng minh MH là phân giác góc AMB

b. Chứng minh MH là trung trực của đoạn thẳng EF

c. Chứng minh AF = BE.

Giải

a.

Xét $\mathrm{\Delta }MHA$ và $\mathrm{\Delta }MHB$ có:

HA = HB (H là trung trực của AB)

$\widehat{MHA}=\widehat{MHB}(={90}^0)$

MH cạnh chung.

Nên $\mathrm{\Delta }MHA=\mathrm{\Delta }MHB(c.g.c)$

Suy ra $\widehat{AMH}=\widehat{BMH}.$

Vậy MH là phân giác của $\widehat{AMB}$

b.

Trên cạnh MB ta lấy E’ sao cho MF = ME’

Xét $\mathrm{\Delta }FMP$ và $\mathrm{\Delta }{E}^{\prime }MP$, có:

MF = ME’ (cạnh lấy điểm E’)

$\widehat{FMP}=\widehat{E^{\prime }MP}$ (do $\widehat{AMH}=\widehat{BMH}$)

MP cạnh chung

Nên $\mathrm{\Delta }FMP=\mathrm{\Delta }{E}^{\prime }MP(c.g.c)$

Suy ra $\widehat{FPM}=\widehat{E^{\prime }PM}{}^{(1)}$

Gọi giao điểm của FE’ với MH là K

Ta lại có $\mathrm{\Delta }PHA=\mathrm{\Delta }PHB(c.g.c)$ (chứng minh tương tự như câu a)

Suy ra $\widehat{APH}=\widehat{BPH}.$

Mà $\widehat{APH}=\widehat{EPM}$ (đối đỉnh) và $\widehat{BPH}=\widehat{FPM}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\widehat{FPM}=\widehat{EPM}{}^{(2)}$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{EPM}=\widehat{E^{\prime }PM}$

Hay E’ trùng với E

Do đó MF = ME (3)

Lại có PF = PE’ (do $\mathrm{\Delta }FMP=\mathrm{\Delta }{E}^{\prime }MP$)

Nên PF = PE (4) (Do E’ trùng với E)

c.

AF = AM – FM

BE = BM – EM

mà AM = BM (M thuộc trung trực AB)

FM = EM (cmt)

nên ta suy ra: AF = BE.

Qua bài giảng Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng
• Tính chất của các điểm thuộc đường trung trực

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 7 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Khi đó O là:

   

  • A. Điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC
  • B. Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC
  • C. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
  • D. Đáp án B và C đúng

• Câu 2:

  Nếu một tam giác có một đườngtrung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

  • A. Tam giác vuông 
  • B. Tam giác cân
  • C. Tam giác đều
  • D. Tam giác vuông cân

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 7 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 44 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 45 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 46 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 47 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 48 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 49 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 50 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 51 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!