Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác - Luyện tập

Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

* Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

* Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại

AB – AC < BC < AB + AC

Ví dụ 1: Một tam giác có hai cạnh dài 2cm và 10cm. Tìm số đo cạnh thứ ba, biết rằng số đo ấy là một số nguyên tố.

Giải

Giả sử cạnh thứ ba dài x(cm). Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta c\(10{\rm{ }} - {\rm{ }}2 < x < 10 + 2 \Rightarrow 8 < x < 12\)

Vì x là số nguyên tố lớn hơn 8 và nhỏ hơn 12 nên x = 11

Vậy số đo cạnh thứ ba là 11cm.

Ví dụ 2:  Hãy tìm độ dài của cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thư hai, cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm.

Giải

Gọi độ dài cạnh thứ ba là x (cm)

Theo độ dài, độ dài cạnh thứ hai là \(\frac{{3x}}{2}\,(cm)\)

Độ dài cạnh thứ nhất là \(\frac{3}{2}.\frac{{3x}}{2} = \frac{{9x}}{4}\,(cm)\)

Bất đẳng thức tam giác được  thoả vì \(x + \frac{3}{2}x = \frac{{5x}}{2} > \frac{{9x}}{4}\)

Chu vi của tam giác là \(x + \frac{{19x}}{8} + \frac{{9x}}{4} = \frac{{19x}}{4}\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{{19x}}{8} = 9,5 \Rightarrow x = 4\)

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là: 4cm, 6cm, 9cm.

Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC,M\) là một điểm tuỳ ý ở miền trong \(\Delta ABC\). Chứng minh: \(MB + MC < AB + AC\)

Giải

Vì M thuộc miền trong \(\Delta ABC\) nên tia BM thuộc miền trong \(\widehat B\), nó cắt cạnh AC tại D.

D nằm giữa A và C, M nằm giữa B và D.

Trong \(\Delta BAD\) có:

\(BM + MD < BA + AD\,{\,^{(1)}}\)

Trong \(\Delta MDC\) có: \(MC - MD < DC{\,^{\,(2)}}\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) với nhau ta được:

BM + MC < BA + AD + DC

Hay BM + MC < BA + AC.

Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn  thẳng AE. Nối C với C.

a. So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.

b. Chứng minh: \(\frac{{AC - AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\)

Giải

a. Ta có:

\(\widehat {AMB}\) và \(\widehat {EMC}\) là 2 góc đối đỉnh nên \(\widehat {AMB} = \widehat {EMC}\)

MA = ME (M là trung điểm AE)

MB = MC (M là trung điểm BC)

Nên \(\Delta AMB = \Delta EMC\,\,(c.g.c)\)

Suy ra AB = CE.

b. Trong \(\Delta ACE\) có:

\(AC - CE < AE < AC + CE\)

Hay \(AC - AB < AE < AC + CB\,\) (vì AB = CE)

Hay \(\frac{{AC - AB}}{2} < \frac{{AE}}{2} < \frac{{AC + AB}}{2}\)

Vậy: \(\frac{{AC - AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\) vì\(AM = \frac{{AE}}{2}\)

Bài 2: Cho điểm D nằm trên cạnh BC của \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng:

\(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)

Giải

Trong \(\Delta ABD\) ta có:

\(AB - BD < AD < AB + B{D^{\,\,(1)}}\)

Trong\(\Delta ACD\) ta có:

\(AC - DC < AD < AC + DC\,{\,^{(2)}}\)

Cộng (1) và (2) ta được:

AB + AC – BD – DC < 2AD < AB + AC + BD + DC

Hay AB + AC – BC < 2AD < AB + AC + BC

Vậy \(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)

Bài 3: Cho điểm M nằm trong \(\Delta ABC.\) Chứng minh rằng tổng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của \(\Delta ABC.\)

Giải

Ta có:

Trong \(\Delta MAB\)

MA + MB > AB

Trong \(\Delta MBC:\)

MB + MC > BC

Trong \(\Delta MCA:\)

MC + MA > CA

Nên:  2(MA+MB+MC) > AB + BC + CA

Suy ra \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} + {\rm{ }}MC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\,\,(1)\)

Ta lại có, theo kết quả bài 410, thì trong \(\Delta ABC\) có:

MB + MC > AB + AC

Tương tự: MA + MB < AC + BC

MA + MC < AB + BC

Nên: 2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)

Suy ra: MA + MB + MC < AB + BC + CA (2)

Từ (1) và (2) ts suy ra:

\(\frac{1}{2}(AB + BC + CA) < MA + MB + MC < AB + BC < CA\)

Qua bài giảng Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững bất đẳng thức trong tam giác

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC, chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

  • A. AB + BC > AC
  • B. BC - AB < AC
  • C. BC - AB < AC < BC + AB
  • D. AB -AC > BC

• Câu 2:

  Với bộ ba đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?

  • A. 2cm, 4cm, 6cm 
  • B. 3cm, 4cm, 5cm 
  • C. 6cm, 9cm, 12cm 
  • D. 5cm, 8cm, 10cm 

• Câu 3:

  Độ dài hai cạnh của một tam giác là 4cm và 12cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó?

  • A. 6cm
  • B. 7cm 
  • C. 8cm
  • D. 9cm

• Câu 4:

  Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác

  • A. 3cm, 4cm, 7cm 
  • B. 4cm, 5cm, 6cm 
  • C. 2cm, 5cm, 7cm 
  • D. 3cm, 6cm, 5cm 

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 15 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 16 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 17 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 18 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 19 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 20 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 21 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 22 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!