Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - Luyện tập

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

* Tam giác ABC nếu AC > AB thì $\hat{B}>\hat{C}$

Trong một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

* Tam giác ABC nên $\hat{B}>\hat{C}$ thì AC > AB

Nhận xét:

Trong $\mathrm{\Delta }ABC,AC>AB\iff \hat{B}>\hat{C}$

Trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông), góc tù (hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA người ta lấy điểm D nào đó khác điểm B và trên tia đối của tia CA người ta lấy điểm E sao cho CE = BD. Chứng minh rằng BC nhỏ hơn DE.

Giải

Xét $\mathrm{\Delta }ACD.$ Góc DCE là góc ngoài đỉnh C của tam giác ấy, nên ta có:

$\widehat{DCE}>\widehat{CDA}$

Hai tam giác BCD và EDC có hai cạnh bằng nhau từng một đôi.

BD = EC (theo giả thiết)

CD là cạnh chung

Hai góc xen giữa hai cạnh ấy không bằng nhau $\widehat{DCE}>\widehat{CDB}$ nên hai cạnh đối diện với hai góc ấy không bằng nhau.

Ta suy ra: BC < DE.

Ví dụ 2: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A. Lấy điểm E trên đoạn BC, lấy điểm F trên đoạn BC kéo dài, điểm D trên AC kéo dài về phía C. Nối AE, AF, BD. Chứng minh:

a. AB < AE

b. AB < AF

c. BD > BC

Giải

a. Ta có

$\widehat{AEB}>\widehat{ACE}$ (góc ngoài tại E của  $\mathrm{\Delta }AEC$) mà $\widehat{ACE}=\widehat{AEB}$(tam giác ABC cân tại A)

$\Rightarrow \widehat{AEB}>\widehat{ABE}$

Trong $\mathrm{\Delta }ABE$ có $\hat{E}>\hat{B}$

$\Rightarrow AB>AE$

b. Ta có $\widehat{ACE}>\widehat{AFC}$(góc ngoài tại C của $\mathrm{\Delta }ACF$) mà $\widehat{ACE}=\widehat{ABE}$ ($\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A)

$\Rightarrow \widehat{ABE}>\widehat{AFC}$

Nên trong $\mathrm{\Delta }ABF$ có $\hat{B}>\hat{F}\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{F}>\mathrm{A}\mathrm{B}$

c. Ta có $\widehat{DCB}>\widehat{ABC}$ (góc ngoài tại C của $\mathrm{\Delta }ABC$) mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ($\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A)

$\Rightarrow \widehat{DCB}>\widehat{ACB}$ mặt khác $\widehat{ACB}>\widehat{CDB}$ (góc ngoài tại C của $\mathrm{\Delta }BCD$)

$\Rightarrow \widehat{DCB}>\widehat{CDB}.$

Trong $\mathrm{\Delta }BCD$ có $\widehat{DCB}>\widehat{CDB}\Rightarrow \widehat{BD}>\widehat{BC}$

Ví dụ 3: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ có AC > AB, M là trung điểm của BC. Nối AM. Trên tia đối của MA lấy D sao cho MA = MD. Nối BD. So sánh $\widehat{BAM}$ và $\widehat{CAM}$.

Giải

$\mathrm{\Delta }AMC$ và $\mathrm{\Delta }DMB$ có:

AM = DM (gt)

MC = BM (gt)

$\widehat{AMC}=\widehat{DMB}$ (đối đỉnh)

Nên $\mathrm{\Delta }AMC=\mathrm{\Delta }DMB(c.g.c)$

Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{BDM}$ và AC = DB.

Mà AC > AB (gt)

$\Rightarrow DB>AB$

Trong $\mathrm{\Delta }ABD$ có $BD>AB\Rightarrow \widehat{BAM}>\widehat{BDM}$

Hay $\widehat{BAM}>\widehat{CAM}$

Bài 1: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ có 3 cạnh thoả mãn hệ thức AC > CB > BA. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong của $\hat{B}$ và $\hat{A}$. Chứng minh IB < IA < IC.

Giải

Ta có AC > CB > BA

$\Rightarrow \widehat{ABC}>\widehat{BAC}>\widehat{ACB}$

$\mathrm{\Delta }IBA$ có $\widehat{ABC}>\widehat{BAC}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{IBA}>\widehat{IAB}(gt)\\ \widehat{IBA}>\widehat{IAB}\Rightarrow IA>IB{}^{(1)}\end{array}$

$\mathrm{\Delta }IAC$ có $\widehat{BAC}>\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{IAC}>\widehat{ICA}$

$\Rightarrow IC>IA{}^{(2)}$

Từ (1) và (2) suy ra IB < IA < IC.

Bài 2: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A (AB < AC).

Tia phân giác của $\hat{B}$ cắt AC tại D, qua C vẽ đường vuông góc với AC cắt tia đối của tia DB tại I. Chứng minh AB < CI; AC < CI.

Giải

Ta có: $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$) mà AB // CI (cùng vuông góc với AC

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{I_1}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{B_2}=\hat{I}.$

Vậy $\mathrm{\Delta }BCI$ cân tại A có AB < BC.

Vậy AB < CI.

Tương tự ta cũng chứng minh được:

AC < CI (vì $AC<BC\Rightarrow AC<CI$)

Bài 3: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$(AC > AB), M là trung điểm của BC. Trên AB và AC lấy 2 điểm P và N sao cho BP = CN. Chứng minh: $\widehat{APN}=\widehat{ANP}$

Giải

Ta có: AC > AB (gt)

Vì BP = CN

Nên AC – CN > AB – BP.

Hay AN – AP.

Do đó, trong $\mathrm{\Delta }APN$ có AN > AP nên $\widehat{APN}>\widehat{ANP.}$

Qua bài giảng Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC có AB > BC > AB. Trong các khẳng định sau, câu nào đúng?

  • A. $\hat{A}>\hat{B}>\hat{C}$
  • B. $\hat{C}>\hat{A}>\hat{B}$
  • C. $\hat{C}<\hat{A}<\hat{B}$
  • D. $\widehat{<}>\hat{B}<\hat{C}$

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC có $\hat{B}={95}^0,\hat{A}={40}^0$. Em hãy chọn câu trả lời đúng nhất 

  • A. BC < AB < AC
  • B. AC < AB < BC
  • C. AC < BC < AB
  • D. AB < BC < AC

• Câu 3:

  Ba cạnh của tam giác có đọ dài là 6cm, 7cm, 8cm. Góc lớn nhất là góc

  • A. đối diện với cạnh có độ dài 6cm
  • B. đối diện với cạnh có độ dài 7cm
  • C. đối diện với cạnh có độ dài 8cm
  • D. ba cạnh có độ dài bằng nhau 

• Câu 4:

  Cho tam giác ABC có AB + AC = 10cm, AC - AB = 4cm. So sánh góc B và góc C

  • A. $\hat{C}<\hat{B}$
  • B. $\hat{C}>\hat{B}$
  • C. $\hat{C}=\hat{B}$
  • D. $\hat{C}=2.\hat{B}$

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 1 trang 55 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 2 trang 55 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 3 trang 56 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 4 trang 56 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 5 trang 56 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 6 trang 56 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 7 trang 56 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!