Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Luyện tập

Đoạn  thẳng AM đối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến.

Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến

Định lý:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác.

Ví dụ  1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 20A. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi là P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Giải

Ta có O là trung điểm của LM (gt)

Suy ra BO là đường trung tuyến của \(\Delta BLM\,{\,^{(1)}}\)

Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB =2AO (gt)

Suy ra \(AO = \frac{1}{3}BO\,\,hay\,\,BA = \frac{2}{3}BO{\,^{\,(2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của \(\Delta BLM\) (tính chất của trọng tâm)

Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và O là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt)

Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến).

Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:

a. EF = BC

b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Giải

a. Ta có BM và CN là 2 đường trung tuyến cặp nhau tại G nên G là trọng tâm  \(\Delta ABC \Rightarrow GC = 2GN\)

Mà \(FG{\rm{ }} = {\rm{ }}2GN \Rightarrow GC = GF.\)

Tương tự BG, GE và \(\widehat {{G_1}} = \widehat {{G_2}}\) (đđ). Do đó \(\Delta BGC = \Delta EGF\,\,(c.g.c)\)

Suy ra BC = EF

b. G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong \(\Delta ABC.\)

Nên AG đi qua trung điểm của BC.

Ví dụ 3: Kéo dài trung tuyến AM của \(\Delta ABC\) một đoạn thẳng MD có độ dài bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài AM. Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). So sánh các cạnh của \(\Delta BGD\) với các trung tuyến của \(\Delta ABC.\)

Giải

Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Ta có AM, BN, CP cắt nhau tại G(tính chất đường trung tuyến) và có

\(BG = \frac{2}{3}BN;CG = \frac{2}{3}CP;AG = \frac{2}{3}AM.\)

\(\begin{array}{l}\Delta BMG = \Delta CMD\,\,(c.g.c) \Rightarrow GB = DC\\\Delta GMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c) \Rightarrow GC = DB\end{array}\)

Xét \(\Delta BGD\) và \(\Delta CDG\) có:

GB = DC

BD = DG

GD cạnh chung

Nên \(\Delta BGD = \Delta CDG\,(c.c.c) \Rightarrow BD = CG = \frac{2}{3}CP\)

Ta cũng có: \(GD = \frac{2}{3}AM\)

Ta có \(\Delta BGD\) có các cạnh lần lượt bằng \(\frac{2}{3}\) các trung tuyến của \(\Delta ABC\)

Bài 1: Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh BC lấy điểm T sao cho \(TB = \frac{2}{3}BC\). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Đường thẳng DT cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EA = EB.

Giải

Trong \(\Delta ABD\) có: BC là trung tuyến vì CA = CD.

Và \(TB = \frac{2}{3}BC,\) do đó T là trọng tâm của \(\Delta ABD\).

Suy ra DT là đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ D nên phải qua trung điểm E của AB.

Vậy EA = EB.

Bài 2: Cho \(\Delta ABC\), AC > AB. Gọi BE và CD là các trung tuyến.

Chứng minh: CD > BE.

Giải

Gọi F là trung tuyến của BC thì ba đường trung tuyến AF, BE, CD cắt nhau ở M. Vì AC > AB nên \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\) (do \(\Delta AFB\) và \(\Delta AFC\)có AF cạnh chung, FB = FC và AC > AB)

Từ \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\)từ hai tam giác MFB và MFC có: MF cạnh chung, FB = FC ta suy ra MC > MB.

Hay \(\frac{2}{3}CD > \frac{2}{3}BE.\) Vậy CD > BE.

Bài 3: Cho \(\Delta ABC,BC = a,CA = b,AB = c.\) Kẻ trung tuyến AM. Đặt \(AM = {m_a}.\)

Chứng minh rằng: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)

Giải

Với \(\Delta AMB\) ta có: AM + MB > AB (1)

Với \(\Delta AMC\) ta có: AM + MC > AC (2)

Cộng từng vế ta được: 2AM+(BM+MC)>AB+AC

Hay \(2{m_a} + a > b + c\)

Suy ra \({m_a} > \frac{{b + c - a}}{2}\,{\,^{(1)}}\)

Theo bài 411, ta được: \({m_a} < \frac{{b + c}}{2}\,{\,^{(2)}}\)

Từ (1) và (2) ta được: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)

Qua bài giảng Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững định nghĩa, tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Chọn câu sai:

  • A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến
  • B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm
  • C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó
  • D. Một tam giác có hai trọng tâm

• Câu 2:

  Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"

   

  • A. \(\frac{2}{3}\)
  • B. \(\frac{3}{2}\)
  • C. 2
  • D. 3

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 23 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 24 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 25 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 26 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 27 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 28 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 29 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!