28 bài tập trắc nghiệm về Mặt nón - Khối nón Toán 12 có đáp án chi tiết

28 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ MẶT NÓN – KHỐI NÓN TOÁN 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Hình nón tròn xoay nội tiếp trong tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:

A. \({S_{xq}} = \frac{\pi }{4}{a^2}\)

B. \({S_{xq}} = \frac{\pi }{6}{a^2}\sqrt 2 \)

C. \({S_{xq}} = \frac{\pi }{6}{a^2}\sqrt 3 \)

D. \({S_{xq}} = \frac{{2\pi }}{3}{a^2}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi S.ABC là tứ diện đều cạnh a

Gọi H là trung điểm cạnh BC

Kẻ \(SO \bot \left( {ABC} \right)\) thì \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) là đường sinh của hình nón.

Ba điểm A, O, H thẳng hàng.

\(\begin{array}{l} HO = \frac{1}{3}AH = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\ {S_{xq}} = \pi .OH.SH = \pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^2}}}{4}. \end{array}\)

Chọn A.

Câu 2: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:

A. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{3}\)

B. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

C. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{6}\)

Hướng dẫn giải:

Kẻ \(SO \bot \left( {ABC} \right),SH \bot BC \Rightarrow OH \bot BC\)

Ta có: \(OA = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\begin{array}{l} {S_{xq}} = \pi .OA.SA = \pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.a\\ {S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)

Chọn C.

Câu 3: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài là \(\frac{{16\pi }}{9}d{m^3}\). Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S_xq của bình nước là:

A. \({S_{xq}} = \frac{{9\pi \sqrt {10} }}{2}d{m^2}\)

B. \({S_{xq}} = 4\pi \sqrt {10} \,\,d{m^2}\)

C. \({S_{xq}} = 4\pi \,d{m^2}\)

D. \({S_{xq}} = \frac{{3\pi }}{2}\,\,d{m^2}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Xét hình nón: h = SO = 3r, r = OB = SA. Xét hình trụ: \({h_1} = 2r = NQ\), \({r_1} = ON = QI\)

\(\Delta SQI \sim \Delta SBO\) \( \Rightarrow \frac{{QI}}{{BO}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {r_1} = \frac{r}{3}\)

⇒ Thể tích khối trụ là:

\({V_t} = \pi r_1^2{h_1} = \frac{{2\pi {r^3}}}{9} = \frac{{16\pi }}{9} \Rightarrow r = 2 \Rightarrow h = 6\)

\( \Rightarrow l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = 2\sqrt {10} \)

\(\Rightarrow {S_{xq}} = \pi rl = 4\pi \sqrt {10} \,\,d{m^2}\)

Câu 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng

A. 500cm²

B. 475cm2

C. 450cm2

D. 550cm2

Hướng dẫn giải:

Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau là SA = SB nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB.

Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có \(OI \bot AB\). Từ tâm O của đáy ta kẻ \(OH \bot SI\) tại H, ta có \(OH \bot \left( {SAB} \right)\) và do đó theo giả thiết ta có OH = 12cm. Xét tam giác vuông SOI ta có:

\(\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{20}^2}}}\)

\(\Rightarrow OI = 15\,\left( {cm} \right)\)

Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có: OS.OI = SI.OH

Do đó \(SI = \frac{{OS.OI}}{{OH}} = \frac{{20.15}}{{12}} = 25\,\left( {cm} \right)\)

Gọi S_t là diện tích của thiết diện SAB. Ta có: \({S_t} = \frac{1}{2}AB.SI\), trong đó AB = 2AI

Vì \(A{I^2} = O{A^2} - O{I^2} = {25^2} - {15^2} = {20^2}\) nên AI = 20cm và AB = 40cm

Vậy thiết diện SAB có diện tích là: \({S_t} = \frac{1}{2}.40.25 = 500\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Chọn A.

Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền 5. Người ta quay tam giác ABC quanh một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón. Hỏi thể tích V khối nón sinh ra lớn nhất là bao nhiêu.

A. \(V = \frac{{250\sqrt 3 \pi }}{{27}}\)

B. \(V = \frac{{25\sqrt 2 \pi }}{{27}}\)

C. \(V = \frac{{20\sqrt 3 \pi }}{{27}}\)

D. \(V = \frac{{250\sqrt 6 \pi }}{{27}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {x^2}y = \frac{1}{3}\pi \left( {25 - {y^2}} \right)y = \frac{{25}}{3}\pi y - \frac{1}{3}\pi {y^3}\).

Xét hàm số \(V = \frac{{25}}{3}\pi y - \frac{1}{3}\pi {y^3}\) với 0 < y < 5.

Ta có \(V' = \frac{{25}}{3}\pi - \pi {y^2} = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó thể tích lớn nhất là \(V = \frac{{250\sqrt 3 \pi }}{{27}}\).

Chọn A.

Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên \(AD = \sqrt 2 \) quay quanh đường thẳng AB. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

A. \(V = 3\pi \)

B. \(V = \frac{4}{3}\pi \)

C. \(V = \frac{7}{3}\pi \)

D. \(V = \frac{5}{3}\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Theo hình vẽ: AH = HD = 1.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích khối trụ có bán kính r = AH = 1, chiều cao CD = 3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ).

Vậy \(V = \pi .A{H^2}.CD - 2.\frac{1}{3}\pi .A{H^2}.HD = \pi \left( {3 - \frac{2}{3}} \right) = \frac{7}{3}\pi \).

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat {BAD} = \alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right),AD = a\) và \(\widehat {ADB} = {90^0}.\) Quay ABCD quanh AB, ta được vật tròn xoay có thể tích là:

A. \(V = \pi {a^3}{\sin ^2}\alpha \)

B. \(V = \pi {a^3}{\sin ^2}\alpha .c{\rm{os}}\alpha \)

C. \(V = \pi {a^3}\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}\)

D. \(V = \pi {a^3}\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Hướng dẫn giải:

Kẻ \(DH \bot AB,CN \bot AB.\)

Các tam giác vuông HAD và NBC bằng nhau.

\(\begin{array}{l} DH = CN = a.\sin \alpha \\ AH = BN = a.\cos \alpha \\ \Rightarrow HN = AB = \frac{a}{{\cos \alpha }} \end{array}\)

Khi quay quanh AB, các tam giác vuông AHD và NBC tạo thành hai hình nón tròn xoay bằng nhau nên:

\(V = \frac{1}{3}\pi .D{H^2}.AH + \left( {\pi .D{H^2}.HN - \frac{1}{3}\pi .C{N^2}.BN} \right) \\= \pi .D{H^2}.AB = \pi .{a^2}.{\sin ^2}\alpha .\frac{a}{{\sin \alpha }} = \pi {a^3}\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}\)

{-- Để xem nội dung đề từ câu 8-28 và đáp án của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu 28 bài tập trắc nghiệm về Mặt nón - Khối nón Toán 12 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!