VẬN DỤNG CAO HÀM SỐ
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị \(f'\left( x \right).\) Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số \(f\left[ {u\left( x \right)} \right].\)
Câu 1. Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
.png?enablejsapi=1)
A. Hàm số \( f\left( x \right).\) đồng biến trên \(\left( { - 2;1} \right).\)
B. Hàm số \( f\left( x \right).\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)
C. Hàm số \(f\left( x \right).\) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
D. Hàm số \( f\left( x \right).\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\)
Lời giải
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy:
● \(f'\left( x \right) > 0\) khi \(\left[ \begin{array}{l}
- 2 < x < 1\\
x > 1
\end{array} \right. \to f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\).
Suy ra A đúng, B đúng.
● \(f'\left( x \right) < 0\) khi \(x < - 2 \to f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\). Suy ra D đúng.
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C.
Câu 2. Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. \(\left( {0;2} \right).\) B. \(\left( {1;3} \right).\) C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\) D. \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Lời giải
Dựa vào đồ thị, suy ra \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2 < x < 2\\
x > 5
\end{array} \right..\)
Ta có \(g'\left( x \right) = - 2f'\left( {3 - 2x} \right).\)
Xét \(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - 2x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2 < 3 - 2x < 2\\
3 - 2x > 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}\\
x < - 1
\end{array} \right..\)
Vậy \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
Đáp án C
Cách 2. Ta có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - 2x} \right) = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3 - 2x = - 2\\
3 - 2x = 2\\
3 - 2x = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2}\\
x = \frac{1}{2}\\
x = - 1
\end{array} \right..\)
Bảng biến thiên
.png)
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọnC.
Chú ý: Dấu của \(g'\left( x \right)\) được xác định như sau: Ví dụ ta chọn \(x = 0 \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\) suy ra \(3 - 2x = 3\) \( \to f'\left( {3 - 2x} \right) = f'\left( 3 \right) < 0.\) Khi đó \(g'\left( 0 \right) = - f'\left( 3 \right) > 0.\)
Nhận thấy các nghiệm của \(g'\left( x \right)\) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. \(\left( { - 1;0} \right).\) B.\(\left( { - \infty ;0} \right).\) C. \(\left( {0;1} \right).\) D. \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Lời giải
Dựa vào đồ thị, suy ra \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 1\\
1 < x < 2
\end{array} \right..\)
Ta có \(g'\left( x \right) = - 2f'\left( {1 - 2x} \right).\)
Xét \(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - 2x < - 1\\
1 < 1 - 2x < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
- \frac{1}{2} < x < 0
\end{array} \right..\)
Vậy \(g\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
---------Xem đầy đủ vui lòng xem online hoặc tải về máy----------
Ngoài ra quý thầy cô cùng các em học sinh có thể tham khảo thêm 150 câu trắc nghiệm Chuyên đề Hàm số Giải tích lớp 12 có đáp án
