10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

Đề thi học sinh giỏi đề số 1:

Câu 1: Cho phương trình $2 x^{2} + 2 (m + 1) x + m^{2} + 4 m + 3 = 0$
1. Định m để phương trình có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$
2.Tìm giá trị lớn nhất của $A = | x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) |$

Câu 2: Tính tổng: $S = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{99}$ , trong đó:
$a_{n} = \frac{1}{(n + 1) \sqrt{n} + n \sqrt{n + 1}}, n = 1, . . ., 99.$

Câu 3: Cho ba số thực a, b, c, d không nhỏ hơn 1 thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 16$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \sqrt{a - 1} + \sqrt{b - 1} + \sqrt{c - 1} + \sqrt{d - 1}$
Câu 4: Cho số tự nhiên a. Chứng minh rằng nếu $(a, 240) = 1$ thì $a^{4} - 1 ⋮ 240$

Câu 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giác ABC. PB cắt (O) tại điểm M khác B. PC cắt (O) tại điểm N khác C. BM cắt AC tại điểm E, CN cắt AB tại điểm F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại điểm Q khác A.
1. Chứng minh rằng ba điểm M, N, Q thẳng hàng.
2. Giả sử AP là phân giác của góc MAN. Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của BC.

Câu 6: Chứng minh rằng không thể phủ kín hình vuông 8 ´ 8 đã bỏ đi hai ô ở góc đối diện nhau (góc trên bên trái và góc dưới bên phải) bằng 31 quân đô-mi-nô kích thước 1 ´ 2 (các quân đô-mi-nô có thể xoay ngang, dọc tuỳ ý).

Hướng dẫn giải đề số 1:

Câu 1:

1. Phương trình trên có nghiệm
$\Leftrightarrow (m + 1) (- m - 5) \geq 0 \Leftrightarrow - 5 \leq m \leq - 1$
2.Với $- 5 \leq m \leq - 1$ , ta có:
$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - (m + 1) \\ x_{1} x_{2} = \frac{m^{2} + 4 m + 3}{2} \end{array}$
$\Rightarrow A = | \frac{m^{2} + 4 m + 3}{2} + 2 (m + 1) | = \frac{1}{2} | (m + 4)^{2} - 9 |$
Do $- 5 \leq m \leq - 1$ nên $- 1 \leq m + 4 \leq 3$
Suy ra $0 \leq (m + 4)^{2} \leq 9$ và $0 \leq A \leq \frac{9}{2}$
Vậy, $M a x A = \frac{9}{2}$

Câu 2: Ta có:
$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n (n + 1)} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n (n + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}, \forall n \geq 1.$
$\Rightarrow S = (\frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}) + . . . + (\frac{1}{\sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{100}}) = \frac{9}{10}$

Câu 3:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm, ta có:
$\sqrt{a - 1} \leq \frac{1 + (a - 1)}{2} = \frac{a}{2} \leq \frac{1}{2} . \frac{a^{2} + 4}{4} = \frac{a^{2} + 4}{8}$
Tương tự đối với các số b, c, d không âm:
$\sqrt{b - 1} \leq \frac{b^{2} + 4}{8}; \sqrt{c - 1} \leq \frac{c^{2} + 4}{8}; \sqrt{d - 1} \leq \frac{d^{2} + 4}{8}$
Do đó: $P = \sqrt{a - 1} + \sqrt{b - 1} + \sqrt{c - 1} + \sqrt{d - 1} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + 16}{8} = 4$
Vậy $M a x P = 4$ khi và chỉ khi $a = b = c = d = 2$

Đề thi học sinh giỏi đề số 2:

Câu 1: Cho phương trình $x^{2} + a x + b = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Chứng minh rằng phương trình $x^{4} + a x^{3} + (b - 2) x^{2} - a x + 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Giải hệ phương trình:
${\begin{cases} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} = y (1) \\ \frac{3 y^{3}}{y^{4} + y^{2} + 1} = z (2) \\ \frac{4 z^{4}}{z^{6} + z^{4} + z^{2} + 1} = x (3) \end{cases}$

Câu 3: Cho x, y, z thỏa mãn $x + y + z > 0$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = \frac{x^{3} + y^{3} + 16 z^{3}}{{(x + y + z)}^{3}}$

Câu 4: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho $2013^{k} - 1$ chia hết cho $10^{5}$ .

Câu 5: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC (A, B là các tiếp điểm), vẽ cát tuyến AEF (EF không đi qua O). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. DE, DF lần lượt cắt AO tại M và N. Chứng minh rằng:
1. $Δ C E F \sim Δ C M N$
2. $O M = O N$

Câu 6: Một miếng giấy hình vuông kích thước 29 x 29 được chia thành các ô vuông kích thước 1 x 1 bằng các đường thẳng song song với các cạnh của miếng giấy. Người ta cắt ra theo đường lưới 99 miếng hình vuông có kích thước 2 x 2. Chứng minh rằng, từ phần giấy còn lại ta có thể cắt ra theo đường lưới một miếng hình vuông 2 x 2 nữa?

Hướng dẫn giải đề số 2:

Câu 1:

Theo đề: $x^{2} + a x + b = 0 (1)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Xét phương trình $x^{4} + a x^{3} + (b - 2) x^{2} - a x + 1 = 0 (2)$
nhận thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình (2) nên $x \neq 0$ , chia cả hai vế của pt (2) cho $x^{2}$ ta có:
$x^{2} + a x + (b - 2) - \frac{a}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0$
$\Leftrightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + a (x - \frac{1}{x}) + b - 2 = 0 (3)$
Đặt $u = x - \frac{1}{x} \Rightarrow u^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = u^{2} + 2$
Phương trình (3) trở thành: $u^{2} + 2 + a u + b - 2 = 0$
$\Leftrightarrow u^{2} + a u + b = 0 (4)$
Vì pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ nên pt (4) cũng có 2 nghiệm phân biệt $u_{1}, u_{2}$ .
Xét phương trình $u = x - \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} - u x - 1 = 0 (5)$
Pt (5) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu do $a c < 0$ nên ứng với hai nghiệm $u_{1}, u_{2}$ thì có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Từ hệ phương trình suy ra: $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.$
Nếu 1 trong 3 số bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0. Thử lại ta có $x = y = z = 0$ là một nghiệm của hệ phương trình.
Nếu $x y z \neq 0 \Rightarrow x > 0, y > 0, z > 0.$ Theo Bất đẳng thức Cauchy: $x^{2} + 1 \geq 2 x$
Từ (1), suy ra $y \leq x$
Tương tự, ta có $z \leq y, x \leq z \Rightarrow z \leq y \leq x \leq z \Rightarrow x = y = z = 1$ .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x = y = z = 0$ hoặc $x = y = z = 1$

Trên đây là phần trích của 2 đề thi trong 10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên. Để xem toàn bộ nội dung đề và lời giải chi tiết còn lại các em có thể xem Online hoặc tải về máy tính bằng cách đăng nhập vào website Chúng tôi.Net.

Các em quan tâm có thể xem thêm:

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!

10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên