10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Hình học
Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Vẽ \(MH \bot BC\) tại H, \(MI \bot AB\) tại I, \(MK \bot AC\) tại K.
a) Chứng minh rằng I, H, K thẳng hàng.
b) Xác định vị trí điểm M để tổng \(\frac{{BC}}{{MH}} + \frac{{AC}}{{MK}} + \frac{{AB}}{{MI}}\) nhỏ nhất
Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). \(AB = AC = R\sqrt 2 \). M là điểm di động trên cung nhỏ AC. D là giao điểm của AM và BC.
a) Chứng minh AM.AD không đổi
b) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD nằm trên một đường cố định.
c) Xác định vị trí điểm M để \(2{\rm{A}}M + A{\rm{D}}\) nhỏ nhất.
Câu 3: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định, CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC, AD lần lượt tại E, F.
a) Tính BE.BF theo R
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
c) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE di động trên một đường cố định.
Câu 4: Cho tam giác ABC có \(\angle A = {60^o}\). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. ID cắt EF tại K. Đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh tứ giác IMAN nội tiếp
b) Gọi J là trung điểm cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng.
c) Gọi r là bán kính của đường tròn (I), S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r.
Chứng minh rằng \({S_{IMN}} \ge \frac{S}{4}\)
Câu 5: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) \((BC \ne 2{\rm{R}})\). A là điểm chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H. I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng bốn điểm E, F, D, I thuộc cùng một đường tròn và \({S_{ABC}} = \frac{{BC.AC.AB}}{{4{\rm{R}}}}\)
b) Xác định vị trí điểm A sao cho chu vi tam giác DEF lớn nhất.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(HG < \frac{2}{3}R\)
d) AO cắt BC tại T. Chứng minh \(\frac{{DB}}{{DC}} + \frac{{TB}}{{TC}} \ge 2\frac{{AB}}{{AC}}\)
Câu 6: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O)(B, C là tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE (D, E thuộc (O), D nằm giữa A và E. Tia AD nằm giữa hai tia AO và AB). AO cắt BC tại H, cắt (O) tại I, L (I nằm giữa A và L).
a) Chứng minh rằng P, H, O, E cùng thuộc một đường tròn
b) Vẽ dây DK song song với BC. Chứng minh rằng K, H, E thẳng hàng.
c) Từ D vẽ đường thẳng song song với BE, cắt AB tại F và cắt BC tại G. Chứng minh rằng D là trung điểm của FG.
d) Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DL, EI đồng quy.
Câu 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có các tia AB, DC cắt nhau tại E; các tia AD, BC cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm (khác C) của hai đường tròn (BCE); (CDF).
Chứng minh rằng:
a) E, M, F thẳng hàng
b) A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn.
c) \(E{\rm{A}}.EB + F{\rm{A}}.F{\rm{D = E}}{{\rm{F}}^2}\)
d) \(OM \bot EF\)
Câu 8: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R), A di động trên cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí A để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
b) Xác định vị trí A để chu vi tam giác ABC lớn nhất.
c) Xác định vị trí A để \(A{B^2} + A{C^2}\) nhỏ nhất
d) Giả sử \(\angle BAC = \angle ACB + {90^o}\). Chứng minh rằng \(A{B^2} + B{C^2} = 4{{\rm{R}}^2}\)
Câu 9: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) \((BC \ne 2{\rm{R}})\). A là điểm di động trên cung lớn BC. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tia AI cắt đường tròn (O) tại M, cắt BC tại D.
a) Chứng minh MD.MA không đổi
b) Xác định vị trí A để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất.
c) Gọi \({r_1},{r_2}\) lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABD, ACD. Xác định vị trí của A để \({r_1} + {r_2}\) lớn nhất.
Câu 10: Cho tam giác ABC. M là điểm di động trên cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt AB tại D, giao điểm của CD và BE là N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt AC tại E. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác NBC, NDE cắt nhau tại N, K. Xác định vị trí của M để tổng \(KB + KC + KM\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Trên đây là phần trích của tài liệu 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Hình học), để xem đầy đủ nội dung của tài liệu các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online và tải về máy tính.
