Tổng hợp lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 có đáp án

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Các bài toán dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm

• Bài toán tìm vận tốc tức thời.

Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\mathop {lim}\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s(t) - s({t_0})}}{{t - {t_0}}}\) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

• Bài toán tìm cường độ tức thời.

Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\mathop {lim}\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q(t) - Q({t_0})}}{{t - {t_0}}}\) được gọi là cường độ tức thời của chuyển động tại thời điểm

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và \({x_0} \in (a;b)\)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {lim}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ và kí hiệu là \(f'({x_0})\) (hoặc \(y'({x_0})\)), tức là: \(f'({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)

Chú ý:

Đại lượng \(\Delta x = x - {x_0}\) được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng \(\Delta y = f(x) - f({x_0}) = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Như vậy, \(y'({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

QUY TẮC

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại x₀, tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\)

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Bước 3: Tìm \(\mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

ĐỊNH LÍ 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

a. Định lí trên tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại x₀ thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b. Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng: Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

ĐỊNH LÍ 2

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) của (C) tại điểm \({M_0}({x_0};f({x_0}))\)

Phương trình tiếp tuyến

ĐỊNH LÍ 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm \({M_0}({x_0};f({x_0}))\) là: \(y - {y_0} = f'({x_0})(x - {x_0})\) trong đó \({y_0} = f({x_0})\)

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Tính vận tốc tức thời

Tính cường độ tức thời.

II. Đạo hàm trên một khoảng

ĐỊNH NGHĨA

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số \(f':\begin{array}{*{20}{c}} {(a;b) \to R}&{}\\ {x \to f'(x)}&{} \end{array}\) là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b).

Kí hiệu là y' hay f'(x).

Câu 1: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}{\rm{ \ \ khi \ \ }}x \ne 0\\ \frac{1}{4}{\rm{ \ \ khi \ \ }}x = 0 \end{array} \right.\). Khi đó f’(0) là kết quả nào sau đây?

A. \(\frac{1}{4}\)

B. \(\frac{1}{16}\)

C. \(\frac{1}{32}\)

D. Không tồn tại

Câu 2: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}{\rm{ \ \ khi \ \ }}x \le 2\\ - \frac{{{x^2}}}{2} + bx - 6{\rm{ \ \ khi \ \ }}x > 2 \end{array} \right.\). Để hàm số này có đạo hàm tại x = 2 thì giá trị của b là:

A. b = 3

B. b = 6

C. b = 1

D. b = -6

Câu 3: Số gia của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1\) ứng với x và \(\Delta x\) là:

A. \(\Delta x\left( {\Delta x + 2x - 4} \right).\)

B. \(2x + \Delta x.\)

C. \(\Delta x.\left( {2x - 4\Delta x} \right).\)

D. \(2x - 4\Delta x.\)

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ là f'(x₀). Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)

B. \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\)

C. \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}\)

D. \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x + {x_0}) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)

Câu 5: Xét ba câu sau:

(1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = x₀ thì f(x) liên tục tại điểm đó

(2) Nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x = x₀ thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó

(3) Nếu f(x) gián đoạn tại x = x₀ thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó

Trong ba câu trên:

A. Có hai câu đúng và một câu sai

B. Có một câu đúng và hai câu sai

C. Cả ba đều đúng

D. Cả ba đều sai

Câu 6: Xét hai câu sau:

(1) Hàm số y = \(\frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\) liên tục tại x = 0     

(2) Hàm số y = \(\frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\) có đạo hàm tại x = 0

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (2) đúng

B. Chỉ có (1) đúng

C. Cả hai đều đúng

D. Cả hai đều sai

Câu 7: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{2}{\rm{ \ \ khi \ \ }}x \le 1\\ ax + b{\rm{ \ \ khi \ \ }}x > 1 \end{array} \right.\). Với giá trị nào sau đây của a, b  thì hàm số có đạo hàm tại x = 1?

A. \(a = 1;b = - \frac{1}{2}\)

B. \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2}\)

C. \(a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2}\)

D. \(a = 1;b = \frac{1}{2}\)

Câu 8: Số gia của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\) ứng với số gia \(\Delta x\) của đối số x tại \({x_0} = - 1\) là:

A. \(\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x.\)

B. \(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x} \right].\)

C. \(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + \Delta x} \right].\)

D. \(\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} + \Delta x.\)

Câu 9: Tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x\left( {x - 1} \right)\) theo x và \(\Delta x\) là:

A. \(4x + 2\Delta x + 2.\)

B. \(4x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - 2.\)

C. \(4x + 2\Delta x - 2.\)

D. \(4x\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - 2\Delta x.\)

Câu 10: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - x\), đạo hàm của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) của đối số x tại x₀ là:

A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x - \Delta x} \right).\)

B. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x - 1} \right).\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x + 1} \right).\)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x + \Delta x} \right).\)

---Để xem tiếp nội dung của tài liệu các em vui lòng xem online hoặc tải về máy---

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Tổng hợp lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 có đáp án. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!