Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ điểm

Bài toán 1 :

Hai đường cong \(\left( C \right):y=f\left( x \right)\) và \(\left( C' \right):y=g\left( x \right)\) tiếp xúc nhau tại \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\).Khi điểm \(M\in \left( C \right)\cap \left( C' \right)\) và tiếp tuyến tại M của \(\left( C \right)\) trùng với tiếp tuyến tại M của \(\left( C' \right)\) chỉ khi hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right)\\ f'\left( {{x_0}} \right) = g'\left( {{x_0}} \right) \end{array} \right.\) có nghiệm .

Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( C \right):y = f\left( x \right)\\ \left( d \right):y = ax + b \end{array} \right.\) tiếp xúc nhau \(\Rightarrow f\left( x \right)-ax-b=0\) có nghiệm kép .

Hàm \(f\left( x \right)\) nhận \({{x}_{0}}\) làm nghiệm bội k nếu \(f\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( {{x}_{0}} \right)=...={{f}^{\left( k-1 \right)}}\left( {{x}_{0}} \right)=0\) và \({{f}^{k}}\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0\). Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép.

Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm.

Ví dụ 1. Đường cong \(y=\sqrt{x}\) không tiếp xúc với trục hoành tại 0, tức là phương trình \(\sqrt{x}=0\) không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2.  Khi đó đồ thị \(\left( C \right):y={{x}^{3}}\) của hàm số  tiếp xúc với trục hoành tại x=0 nhưng phương trình \({{x}^{3}}=0\) nhận 0 làm nghiệm bội 3.

Ví dụ 2. Đồ thị \(\left( C \right):y=\sin x\) của hàm số tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right):y=x\) tại x=0 nhưng phương trình \(\sin x-x=0\) thì không thể có nghiệm kép.

Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến.

Bài toán 2 :

- Đường cong \(\left( C \right):y=f\left( x \right)\) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) khi và chỉ khi hàm số \(y=f\left( x \right)\) khả vi tại \({{x}_{0}}\). Trong trường hợp \(\left( C \right)\) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) thì tiếp tuyến đó có hệ số góc \(f'\left( {{x}_{0}} \right)\)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y=f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)có dạng : \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\)

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm \(\text{M}\left( -\text{1};\text{3} \right)\) 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 4. Tại giao điểm (C) với trục tung 5. Có hệ số góc là  9                                                                                    6. Song song với đường thẳng  (d ): 27x-3y+5=0; 7. Vuông góc với đường thẳng (d’ ): x+9y+2013=0.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+6x\)

1. Phương trình tiếp tuyến \(\left( t \right)\) tại \(\text{M}\left( -\text{1};\text{3} \right)\) có phương trình : \(y=y'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)+3\)

Ta có: \(y'\left( -1 \right)=-3\), khi đó phương trình \(\left( t \right)\) là: y=-3x+6

Chú ý:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là: \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

2. Thay x=2 vào đồ thị của (C)  ta được y=21.

Tương tự câu 1, phương trình \(\left( t \right)\) là: y=24x-27

Chú ý:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) biết hoành độ tiếp điểm \(x={{x}_{0}}\), \({{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right), y'\left( {{x}_{0}} \right)\Rightarrow \) phương trình tiếp tuyến:\(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

3. Thay y=1 vào đồ thị của (C)  ta được \({{x}^{2}}\left( x+3 \right)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x=-3.

Tương tự câu 1, phương trình \(\left( t \right)\) là: y=1, y=9x+28

Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) biết tung độ tiếp điểm bằng \({{y}_{0}}\). Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tiếp điểm

Giải phương trình \(f\left( x \right)={{y}_{0}}\) ta tìm được các nghiệm \({{x}_{0}}\)

Tính \(y'\left( {{x}_{0}} \right) \Rightarrow \) phương trình tiếp tuyến: \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

4. Trục tung Oy : \(x=0\Rightarrow y=1\).Tương tự câu 1, phương trình \(\left( t \right)\) là: y=1

5. Gọi \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến \(\left( t \right)\)

Ta có : \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}\), theo giả thiết  \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=9\), tức là \(3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}=9 \Rightarrow {{x}_{0}}=-3\) hoặc \({{x}_{0}}=1\). Tương tự câu 1

6. Gọi \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến \(\left( t \right)\).

Theo bài toán: \(\left( t \right)\parallel \left( d \right): y=9x+\frac{5}{3}\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=9\). Tương tự câu 1

7. Gọi \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến \(\left( t \right)\).

Theo bài toán: \(\left( t \right)\bot \left( d' \right): y=-\frac{1}{9}x-\frac{2013}{9}\Rightarrow  y'\left( {{x}_{0}} \right)=9\). Tương tự câu 1

Ví dụ 2: 1. Cho hàm số: \(y={{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 3m+1 \right)x+m-2\). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm \(A\left( 2;-1 \right)\) 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+(m+3)x-3\) và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng \(\frac{7}{\sqrt{17}}\)

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3m+1\)

Với \(x=1\Rightarrow y\left( 1 \right)=3m+1\Rightarrow y'\left( 1 \right)=m+6\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x=1: \(y=\left( m+6 \right)\left( x-1 \right)+3m+1\)

Tiếp tuyến này đi qua \(A\left( 2;-1 \right)\) nên có: \(-1=m+6+3m+1\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy, m=-2 là giá trị cần tìm.

2. Hàm số đã cho xác định với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\text{y }\!\!'\!\!\text{ }=\text{ 3}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\text{2}\left( \text{2m}+\text{1} \right)\text{x}+\text{m}+\text{3}.\)

Phương trình tiếp tuyến (d) : \(y=y'(2)(x-2)+y(2)\)

\(y=\left( \text{11}\text{7m} \right)\left( \text{x}\text{2} \right)+\text{7}\text{6m}=\left( \text{11}\text{7m} \right)\text{x}+\text{8m}\text{15}\)

\(\Leftrightarrow (11-7m)x-y+8m-15=0 \,d(0,(d))=\frac{\left| 8m-15 \right|}{\sqrt{{{(11-7m)}^{2}}+1}}=\frac{7}{\sqrt{17}}\)

\(\Leftrightarrow 17{{(8m-15)}^{2}}=49[{{(11-7m)}^{2}}+1]\Leftrightarrow 1313{{m}^{2}}-3466m+2153=0\Leftrightarrow m=1,m=\frac{2153}{1313}\)

Bài 1 :

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\): \(y=-{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+6\), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=\frac{1}{6}x-1\)         

2. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-x+\frac{2}{3}\) có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng \(y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\).

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Gọi \(\left( t \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số và \(\left( t \right)\) vuông góc với đường thẳng \(y=\frac{1}{6}x-1\), nên đường thẳng \(\left( t \right)\) có hệ số góc bằng -6.

Cách 1: Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến \(\left( t \right)\) và đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số . Khi đó,  ta có phương trình: \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=-6\Leftrightarrow -4x_{0}^{3}-2{{x}_{0}}=-6\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-1 \right)\left( 2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+3 \right)=0\mathsf{ }\left( * \right)\). Vì \(2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+3>0,\forall {{x}_{0}}\in \mathbb{R}\) nên phương trình \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=y\left( 1 \right)=4\Rightarrow M\left( 1;4 \right)\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y=-6\left( x-1 \right)+4=-6x+10\)

Cách 2: Phương trình \(\left( t \right)\) có dạng y=-6x+m

\(\left( t \right)\) tiếp xúc \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) khi hệ phương trình sau có nghiệm \({{x}_{0}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} - x_0^4 - x_0^2 + 6 = - 6{x_0} + m\\ - 4x_0^3 - 2{x_0} = - 6 \end{array} \right.\) có nghiệm \({x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ m = 10 \end{array} \right.\)

2. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'={{x}^{2}}-1\)

Gọi \(M({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in (C)\Leftrightarrow {{y}_{0}}=\frac{1}{3}x_{0}^{3}-{{x}_{0}}+\frac{2}{3}\),

Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: \(y'({{x}_{0}})=x_{0}^{2}-1\)

Đường thẳng d: \(y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\) có hệ số góc \({{k}_{2}}=-\frac{1}{3}\)

\(\Delta \bot d \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1 \Leftrightarrow (x_0^2 - 1)\left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x_0^2 = 4\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = \frac{4}{3}\\ {x_0} = - 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \end{array} \right.\)

Vậy, có 2 điểm \(M\left( -2;0 \right),\mathsf{ }\left( 2;\frac{4}{3} \right)\) là tọa độ cần tìm.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ điểm. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp viết tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm cho trước

Chúc các em học tập tốt!