Phương pháp tìm điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không đi qua

Ta thường gặp bài toán sau

Bài toán: Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị (C) : y=f(x), biết M thỏa mãn tính chất T cho trước

Phương pháp: $M\in (C)\Rightarrow M(m;f(m))$.

Dựa vào tính chất T của M ta tìm được m.

1. Điểm cố định của họ đường cong

Điểm $A(x_0;y_0)$ gọi là điểm cố định của họ đường cong $(C_m):y=F(x,m)$ nếu $F(x_0,m)=y_0\mathrm{\forall }m$ (1).

Để giải quyết (1) ta thường biến đổi (1) về dạng

$f(x_0,y_0).m^2+g(x_0,y_0).m+h(x_0,y_0)=0\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

$\iff f(x_0,y_0)=g(x_0,y_0)=h(x_0,y_0)=0$

Từ đó ta tìm được A

2. Điểm mà họ đường cong không đi qua

Điểm $A(x_0;y_0)$ gọi là điểm không có đường cong nào của họ đường cong $(C_m):y=F(x,m)$ đi qua nếu $F(x_0,m)\ne y_0\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

Hay phương trình $F(x_0,m)=y_0$ vô nghiệm với mọi m

Chú ý : Phương trình ax+b=0 vô nghiệm $\iff \{\begin{array}{rl}& a=0\\ & b\ne 0\end{array}$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=(m+2)x^3-3(m-2)x+m+7$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$. Chứng minh rằng họ đường cong $(C_m)$ luôn đi qua ba điểm cố định và ba điểm này nằm trên một đường thẳng.

Lời giải.

Gọi $A(x_0;y_0)$ là điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$

$\Rightarrow y_0=(m+2)x_0^3-3(m-2)x_0+m+7\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

$\iff m(x_0^3-3x_0+1)+2x_0^3+6x_0+7-y_0=0\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{l}{x}_0^3-3x_0+1=0\\ y_0=2x_0^3+6x_0+7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0^3-3x_0+1=0\\ y_0=2(3x_0-1)+6x_0+7=12x_0+5\end{array}$

Vì phương trình $x^3-3x+1=0$ luôn có ba nghiệm phân biệt nên ta suy ra họ đường cong $(C_m)$ luôn đi qua ba điểm cố định.

Từ phương trình $y_0=12x_0+5\Rightarrow$ ba điểm cố định này nằm trên đường thẳng y=12x+5.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng họ $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$: $y=\frac{(m+1)x+m}{x+m}$ luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Lời giải.

Cách 1: Giả sử $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng y=ax+b. Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi m:

$\{\begin{array}{l}\frac{(m+1)x+m}{x+m}=ax+b\\ \frac{m^2}{{(x+m)}^2}=a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m+1-\frac{m^2}{x+m}=a(x+m)-am+b\\ \frac{m^2}{{(x+m)}^2}=a\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}\frac{2m^2}{x+m}=am+m+1-b\\ \frac{m^2}{{(x+m)}^2}=a\end{array}\Rightarrow \frac{{(am+m+1-b)}^2}{4m^2}=a\mathrm{\forall }m\in R$

$\iff (a-1{)}^2{m}^2+2(1-b)(a+1)m+(1-b{)}^2=0\mathrm{\forall }m\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}$

Vậy $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $y=x+1$

Cách 2: Ta dễ dàng tìm được điểm cố định của $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ là A(0;1).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : y'(0)=1 nên tiếp tuyến tại A có phương trình: y=x+1

Vậy $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng y=x+1

Cách 3: Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm mà không có đường nào của họ $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ đi qua

$\Rightarrow y_0=\frac{(m+1)x_0+m}{x_0+m}\iff (x_0+1-y_0)m=x_0{y}_0-x_0(m\ne -x_0)$ vô nghiệm với mọi m

$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{x}_0+1-y_0=0\\ x_0{y}_0-x_0\ne 0\end{array}\\ (x_0+1-y_0)(-x_0)=x_0{y}_0-x_0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{y}_0=x_0+1\\ x_0\ne 0\end{array}\\ x_0=0\end{array}\iff y_0=x_0+1$

Ta dễ dàng chứng minh được $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng y=x+1

Vậy, $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng y=x+1.

Chú ý: Để chứng minh một họ đường cong $(C_m):y=F(x,m)$ tiếp xúc với một đường cong cố định ta có các cách sau

Cách 1. Sử dụng hệ để xét điều kiện tiếp xúc:

Giả sử họ (C_m) luôn tiếp xúc với đường cố định (C):y=g(x). Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi m: $\{\begin{array}{rl}& F(x,m)=g(x)\\ & F^{\prime }(x,m)=g^{\prime }(x)\end{array}$. Từ đây ta xác định được g(x).

Ta thường chỉ áp dụng cách trên khi y=g(x) là Parabol hoặc đường thẳng.

Cách 2. Phương pháp tiếp tuyến cố định :

(Áp dụng khi đường cố định là đường thẳng)

Tìm điểm cố định và viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm cố định là một đường thẳng cố định thì tiếp tuyến đó là đường thẳng cần tìm.

Cách 3. Phương pháp tìm đường biên của hình lồi:

* Tìm những điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua, chẳng hạn ta được quỹ tích những điểm này là bao lồi có đường biên  (C): y=g(x).

* Ta chứng minh (C_m) luôn tiếp xúc với đường (C) : y=g(x).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ đồ thị $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$: $y=\frac{(m+1)x^2-m^2}{x-m}(m\ne 0)$ luôn tiếp xúc với một Parabol cố định

Lời giải.

Ta có $y=(m+1)x+m(m+1)+\frac{m^3}{x-m}\Rightarrow$ tiệm cận xiên của $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ là đường thẳng  d có phương trình: $y=(m+1)x+m(m+1)$.

Cách 1: Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình : $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$.

Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi m:

$\{\begin{array}{l}a{x}^2+bx+c=(m+1)x+m(m+1)(1)\\ 2ax+b=m+1(2)\end{array}$

Từ (2) suy ra $x=\frac{m+1-b}{2a}$ thay vào (1) ta có được:

$\frac{{(m+1-b)}^2}{4a}+\frac{b(m+1-b)}{2a}+c=\frac{(m+1)(m+1-b)}{2a}+m(m+1)$

$\iff (1+4a)m^2+2[(1-b)+2a]m+{(1-b)}^2-4ac=0$ (*)

Vì hệ có nghiệm với mọi m nên (*) đúng với mọi m

$\iff \{\begin{array}{l}1+4a=0\\ (1-b)+2a=0\\ (1-b{)}^2-4ac=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=-\frac{1}{4}\end{array}\Rightarrow (P):y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$

Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol $(P):y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$.

Cách 2: Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình $y_0=(m+1)x_0+m^2+m\iff m^2+(x_0+1)m+x_0-y_0=0$ vô nghiệm $\mathrm{\forall }m$

$\iff \mathrm{\Delta }={(x_0+1)}^2-4x_0+4y_0<0\iff y_0<-\frac{1}{4}{x}_0^2+\frac{1}{2}{x}_0-\frac{1}{4}$

Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol

$(P):y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$

Bài 1: Cho hàm số $y=x^3-(2m+1)x^2+mx+3m-2$ có đồ thị là $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$

1. Tìm trên $\left({\text{C}}_{\text{1}}\right)$ những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

2. Tìm m để trên tồn tại ít nhất một cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung.

3. Tìm tất cả các điểm cố định họ đường cong $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn đi qua.

4.Tìm những điểm cố định mà không có đồ thị nào của họ $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ đi qua.

Bài 2: Cho hàm số $y=\frac{mx+2}{2x+m}$ có đồ thị là $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$.

1. Tìm những điểm cố định mà họ đồ thị $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn đi qua.

2. Tìm tập hợp những điểm mà không có đường cong nào của họ $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ đi qua.

Bài 3:

1. Gọi $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ là đồ thị của hàm số $y=\frac{2x^2+(1-m)x+1+m}{x+m}$, m là tham số . Chứng minh rằng với mọi m $\ne -1$ $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định .

2. Gọi $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ là đồ thị của hàm số y = $2mx-m^2+4+\frac{1}{x-1}$, m là tham số khác 0. Chứng minh rằng với mọi m $\ne$0 đường tiệm cận xiên của $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với một parabol cố định.

3. Cho họ đồ thị $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$: $y=\frac{(m-1)x+m}{x-m}$, m là tham số khác 0. Chứng minh rằng họ $\left({\text{C}}_{\text{m}}\right)$ luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định.

4. Chứng minh rằng với mọi tham số m khác 0, đồ thị $\left(\text{Hm}\right):\text{y}=\frac{(m-2)x+3m-2}{x+1-m}$ luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định .

Bài 4:

1. Cho họ đồ thị (C_m) : y = $m{x}^4-(4m-1)x^2+3m+1$. Tìm các điểm trên đường thẳng (d): y = x+1 mà không có đồ thị (C_m) nào đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị nào.

2. Cho họ đồ thị (C_m): $\text{y}=(m+3)x^3-(3m+7)x+m+3$. Chứng minh rằng (Cm) đi qua ba điểm cố định thẳng hàng.

3. Cho họ đồ thị (C_m) :$y=m{x}^4+(m^2+2m)x^2+m^3$. Chứng minh rằng với mọi điểm A cho trước trên mặt phẳng tọa độ , ta luôn tìm được duy nhất một giá trị m thích hợp để (C_m) đi qua A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không đi qua. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Các dạng toán tìm các điểm đối xứng nhau trên đồ thị

Chúc các em học tập tốt!