Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hữu tỷ

1. HÀM SỐ NHẤT BIẾN: \(y=\frac{ax+b}{cx+d},\text{ }ac\ne 0\).

a) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{d}{c} \right\}\)

b) Đạo hàm: \({y}'=\frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}\). Đặt m = ad - bc, ta có:

* Nếu m > 0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định.

* Nếu m < 0 thì hàm số giảm trên từng khoảng xác định.

c) Các đường tiệm cận : \(x =  - \frac{d}{c}\) là tiệm cận đứng và \(y = \frac{a}{c}\) là tiệm cận ngang.

d) Bảng biến thiên và đồ thị :

e) Đồ thị của hàm số nhất biến gọi là một hypebol vuông góc có tâm đối xứng

\(I\left( -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right)\), là giao điểm của 2 đường tiệm cận.        

2. HÀM SỐ PHÂN THỨC \(y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{\alpha x+\beta },\text{  }a.\alpha \ne 0\)

Thực hiện phép chia đa thức ta được: \(y=Ax+B+\frac{C}{\alpha x+\beta }\text{   }(a.\alpha .C\ne 0)\)

a) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\beta }{\alpha } \right\}\)

b) Đạo hàm: \({y}'=A-\frac{C\alpha }{{{(\alpha x+\beta )}^{2}}}=\frac{A{{(\alpha x+\beta )}^{2}}-C\alpha }{{{(\alpha x+\beta )}^{2}}} \Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow {{(\alpha x+\beta )}^{2}}=\frac{C\alpha }{A}\)

* Nếu \(\frac{C\alpha }{A}<0\) thì hàm số không có cực trị, hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định.

* Nếu \(\frac{C\alpha }{A}>0\) thì hàm số có 2 cực trị.

c) Các đường tiệm cận: Tiệm cận đứng: \(x=-\frac{\beta }{\alpha }\) và Tiệm cận xiên: y=Ax+B.

d) Bảng biến thiên

*\(A>0,\text{ }AC\alpha >0\): Hàm số có 2 cực trị

* \(A>0,\text{ }C\alpha <0\): Hàm số không có cực trị

*\(A<0,\text{ }AC\alpha <0\): Hàm số không có cực trị.

Một số tính chất của hàm số hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1.

Giả sử \({y}'=\frac{g(x)}{{{(\alpha x+\beta )}^{2}}}\) với g(x) là một tam thức bậc 2 có biệt số \(\Delta \).

1. Hàm số có cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow \) g(x) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-\frac{\beta }{\alpha }\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta >0 \\ & g\left( -\frac{\beta }{\alpha } \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

2. Các cực trị là: \({{y}_{1}}=\frac{2a{{x}_{1}}+b}{\alpha };{{y}_{2}}=\frac{2a{{x}_{2}}+b}{\alpha }\) với \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là 2 nghiệm của y'=0.

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình : \(y=\frac{1}{\alpha }(2ax+b)\)

3. Điều kiện để 2 cực trị trái dấu là : g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác \(-\frac{\beta }{\alpha }\) và \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) vô nghiệm.

4. Giả sử M là điểm thuộc đồ thị hàm số. Nếu tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B thì ta có :

* M là trung điểm của AB và \({{S}_{\Delta IAB}}\) không đổi (I là giao điểm 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thị).

* Tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là 1 hằng số.

Ví dụ: Cho hàm số \(y=\frac{mx+4}{x+m}\), trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty \,\,\,;\,1 \right)\)

Lời giải.

1. Khi m=1  thì hàm số là: \(y=\frac{x+4}{x+1}\).

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.\)

 Chiều biến thiên:

+ Ta có :\({y}'=\frac{-\,\,3}{{{\left( \text{x}+1 \right)}^{2}}}<0\,\,,\,\,\forall x\ne -1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\,\infty \,\,;\,\,-1 \right)\,,\left( -1\,\,;\,+\,\infty  \right)\)

Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận:

+ Ta có: \(\underset{x\to \,{{\left( -\,1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty \,\,,\underset{x\to \,{{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \,\), do đó đường thẳng x=-1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho (khi \(x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}\) và khi \(x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}\)).

+ Ta có: \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=1\), nên đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho (khi \(x\to +\,\infty \) và khi \(x\to -\,\infty \))

Bảng biến thiên:

Đồ thị : (hình vẽ)

\(y=0\Rightarrow x=-4\,\,;\,x=0\Rightarrow y=4\), tức là đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( -4\,;\,\,0 \right)\), cắt trục tung tại \(\left( 0\,;\,\,4 \right)\)

Đồ thị của hàm số nhận giao điểm \(I\left( -1\,;\,\,1 \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng .

2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty \,;\,\,1 \right)\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}\)

\({y}'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}.\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow y'<0,\forall x\in \left( -\infty \,;\,\,1 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 4 < 0\\ x = - m \notin \left( { - \infty \,;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ - m \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ m \le - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m \le - 1.\)

 Vậy giá trị cần tìm là: \( - 2 < m \le - 1.\)

Bài 1: Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\), gọi đồ thị của hàm số là ( C )

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;

2. Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right):y=-x+m\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

Lời giải.

1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\,\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: \({y}'=\frac{-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0\,\,\,,\,\,\forall x\in D\).

Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\,\infty \,;\,\,1 \right)\) và \(\left( 1\,\,\,;\,\,+\,\infty  \right)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Giới hạn : \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\,\,\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\); \(\underset{x\to \,{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \,\) và \(\underset{x\to \,{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty \).

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

Đồ thị cắt trục tung tại \(A\left( 0\,\,;\,\,-1 \right)\), cắt trục hoành tại \(B\left( -\frac{1}{2}\,\,;\,\,0 \right)\)

Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận \(I\left( 1\,\,\,;\,\,2 \right)\) làm tâm đối xứng .

2. Đường thẳng \(\left( d \right):y=-x+m\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

⇔ \(\frac{2x+1}{x-1}=-x+m\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m-2 \right)x+m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1 .

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) > 0\\ {1^2} - \left( {m - 2} \right).1 + m + 1 \ne 0 \end{array} \right.{\mkern 1mu} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 8m > 0\\ 4 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > 8 \end{array} \right.\)

Vậy, với m<0 hoặc m>8 thì đường thẳng (d) cắt đồ thì ( C ) tại hai điểm phẩn biệt.

Bài 2: Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\), gọi đồ thị của hàm số là ( C )

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Lời giải.

1.  Xét hàm số y = \(\frac{2x+1}{x+1}\) (C)

Tập xác định : D = \(\mathbb{R}\)\{-1}.

Sự biến thiên :

Chiều biến thiên : \({y}'=\frac{1}{{{(x+1)}^{2}}}>0,\ \forall x\in D\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-\(\infty \) ; -1) và (-1 ; +\(\infty \))

Giới hạn và tiệm cận:

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2;\) tiệm cận ngang: y = 2.

\(\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ,\ \underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\) tiệm cận đứng : x = -1

Bảng biến thiên:       

Đồ thị :

2.  Gọi (d) là đường thẳng y = kx + 2k + 1. Khi đó hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình : \(kx+2k+1=\frac{2x+1}{x+1}\)

⇔ (x + 1)(kx + 2k +1 ) = 2x + 1 (do x = -1 không là nghiệm)

⇔ kx² + (3k - 1)x + 2k = 0 (1)

Để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) cần có hai nghiệm phân biệt. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ \Delta > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ {(3k - 1)^2} - 8k > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ {k^2} - (k + 1) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ k < 3 - 2\sqrt 2 {\mkern 1mu} \vee {\mkern 1mu} k > 3 + 2\sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Khi k thỏa mãn (2) ta có: \(\text{A}\left( {{\text{x}}_{\text{1}}};\text{ k}{{\text{x}}_{\text{1}}}+\text{2k}+\text{1} \right)\) và \(\text{B}\left( {{\text{x}}_{\text{2}}};\text{ k}{{\text{x}}_{\text{2}}}+\text{2k}+\text{1} \right),\]ở đây \[{{\text{x}}_{\text{1}}}, {{\text{x}}_{\text{2}}}\) là hai nghiệm phân biệt của (1).

Ta có : d(A, Ox) = d(B, Ox) ⇔ \(\left| k{{x}_{1}}+2k+1 \right|=\left| k{{x}_{2}}+2k+1 \right|\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k{x_1} + 2k + 1 = k{x_2} + 2k + 1\\ k{x_1} + 2k + 1 = - k{x_2} - 2k - 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k({x_1} - {x_2}) = 0\\ k({x_1} + {x_2}) + 4k + 2 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = {x_2}\;(do\;k \ne 0)\\ k({x_1} + {x_2}) + 4k + 2 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\rm{k}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}}} \right) + {\rm{4k}} + {\rm{2}} = 0 \end{array}\)

Theo định lí Viet, ta có \({{\text{x}}_{\text{1}}}\text{+}{{\text{x}}_{\text{2}}}=\frac{1-3k}{k},\) từ đó ta có :

\(k\frac{1-3k}{k}+4k+2=0\) ⇔ k + 3 = 0 ⇔ k = -3.

Rõ ràng k = -3 thỏa mãn (2), nên là giá trị duy nhất cần tìm của tham số k.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hữu tỷ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Hàm số bậc trùng phương và các vấn đề liên quan

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba

Chúc các em học tập tốt!