1. Phần nguyên của một số
Xét số thức A, số nguyên lớn nhất mà không vượt quá A người ta gọi là phần nguyên của A và kí hiệu là [A].
Như vậy dễ thấy \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }A]\le A\le \text{ }\!\![\!\!\text{ }A]+1\).
2. Công thức tính số các chữ số của một số tự nhiên
Xét số tự nhiên A hiện thời đang biểu diễn dưới dạng mũ hay một dạng nào đó mà ta không đếm được các chữ số của nó. Gỉa sử A có n chữ số thì ta có công thức sau đây: \(n=\text{ }\!\![\!\!\text{ }\lg A\text{ }\!\!]\!\!\text{ +1}\).
Trước khi đi vào chứng minh, tôi muốn nhắc lại cho các bạn cách phân tích một số tự nhiên ra dạng tổng lũy thừa của cơ số 10, ví dụ \(423={{4.10}^{2}}+2.10+3;\text{ }5678={{5.10}^{3}}+{{6.10}^{2}}+{{7.10}^{1}}+8\).
Chứng minh:
Giả sử số tự nhiên A có n chữ số:
\(A={{\overline{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}...a}}_{1}}={{a}_{n}}{{.10}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{{.10}^{n-2}}+{{a}_{n-2}}{{.10}^{n-3}}+...+{{a}_{1}}\)
Suy ra \(\log \left( A \right)=\log \left( {{a}_{n}}{{.10}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{{.10}^{n-2}}+{{a}_{n-2}}{{.10}^{n-3}}+...+{{a}_{1}} \right)<\log \left( {{10}^{n}} \right)=n\) và
\(\log \left( A \right)=\log \left( {{a}_{n}}{{.10}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{{.10}^{n-2}}+{{a}_{n-2}}{{.10}^{n-3}}+...+{{a}_{1}} \right)\ge \log \left( {{a}_{n}}{{.10}^{n-1}} \right)\ge n-1\).
Từ hai điều này ta có: \(n-1\le \log \left( A \right)
Giữa \(\log \left( A \right),\text{ }\log \left( A \right)+1\) chỉ có duy nhất một số tự nhiên lớn hơn \(\log \left( A \right)\) đó là \(\left[ \log \left( A \right) \right]+1\)
Vậy \(n=\left[ \log \left( A \right)+1 \right]\)
Sau đây ta cùng sử dụng công thức trên để giải một số bài toán sau:
3. Bài toán áp dụng
Bài 1: Số nguyên tố dạng \(M{{ }_{p}}={{2}^{p}}-1\), trong đó p là một số nguyên tố, được gọi là số nguyên tố Mec-xen. Số \({{M}_{6972593}}\) được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?
A. 2098960 chữ số.
B. 2098961 chữ số.
C. 6972593 chữ số.
D. 6972592 chữ số.
Giải:
Đầu tiên ta cần biết: Số tự nhiên A có n chữ số thì \(n=\left[ \log \left( A \right) \right]+1\)
Ta cần tính \({{2}^{6972593}}-1\) có bao nhiêu chữ số, ta thấy rằng \({{2}^{6972593}}-1\) và \({{2}^{6972593}}\) chắc chắn có cùng số chữ số, nó giống như là 213 và 213−1 có cùng 3 chữ số vậy.
Từ lập luậ trên ta đi tính số chữ số của \({{2}^{6972593}}\) bằng công thức: \(n=\left[ \log \left( A \right) \right]+1\).
Áp dụng công thức ta được:
\(n=\left[ \log {{2}^{6972593}} \right]+1=\left[ 6972593.\log 2 \right]+1=2098960\).
Chọn B.
Bài 2: Người ta qui ước \(\lg x\) và \(\log x\) là giá trị của \({{\log }_{10}}x\). Trong các lĩnh vực kỹ thuật, \(\lg x\) được sử dụng khá nhiều, kể cả máy tính cầm tay hay quang phổ. Hơn nữa, trong toán học người ta sử dụng \(\lg x\) để tìm số chữ số của một số nguyên dương nào đó. Ví dụ số A có n chữ số thì khi đó \(n=\left[ \lg A \right]+1\) với \(\left[ \lg A \right]\) là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng A. Hỏi số \(B={{2017}^{2017}}\) có bao nhiêu chữ số?
A. 9999 chữ số.
B. 6666 chữ số.
C. 9966 chữ số.
D. 6699 chữ số.
Giải:
Áp dụng công thức \(n=\left[ \lg A \right]+1\) để tìm các chữ số của số A.
Ta có: \(\log B=\log {{2017}^{2017}}=2017\log 2017\approx 6665\)
Vậy B có 6666 chữ số.
Chọn B.
Bài 3: Số nguyên tố dạng \({{M}_{p}}={{2}^{p}}-1\), trong đó p là số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (Mersenne Marin, 1588-1648, người Pháp)
+ Ơ-le phát hiện \({{M}_{31}}\) năm 1750.
+ Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp) phát hiện \({{M}_{127}}\) năm 1876
+ \({{M}_{1398268}}\) được phát hiện năm 1996.
Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗ số có bao nhiêu chữ số?
A. \(10;\text{ }39;\text{ }420921.\)
B. \(10;\text{ 4}9;\text{ }42092.\)
C. \910;\text{ 6}9;\text{ }420923.\)
D. \(10;\text{ 5}9;\text{ }4209.\)
Giải:
Giả sử số nguyên tố \(M{{ }_{p}}={{2}^{p}}-1\) viết trong hệ thập phân có n chữ số thì \({{10}^{n-1}}\le {{M}_{p}}\le {{10}^{n}}\) hay \({{10}^{n-1}}\le {{2}^{p}}\le {{10}^{n}}\) vì \({{2}^{p}}\) không chứa thừa số nguyên tố 5 nên \({{2}^{p}}<{{10}^{n}}\) ).
Suy ra: \(\lg {{10}^{n-1}}<\lg {{2}^{p}}<\lg {{10}^{n}}\) hay \(n-1
Thay p=31, ta được \(31.\lg 2=9,33...\)
Suy ra \(n=10\).
Vậy số nguyên tố \({{M}_{31}}\) viết trong hệ thập phân có 10 chữ số.
Làm tương tự ta thấy \({{M}_{127}}\) có 39 chữ số. số \({{M}_{1398269}}\) có 420921 chữ số.
Chọn A.
Bài 4: Số \(p={{2}^{756839}}-1\) là một số nguyên tố. Hỏi nếu viết trong hệ thập phân thì số đó có bao nhiêu chữ số?
A. 227831 chữ số.
B. 227832 chữ số.
C. 227834 chữ số.
D. 227835 chữ số.
Giải:
Áp dụng công thức \(n=\left[ \lg A \right]+1\) để tìm các chữ số của số A.
\(\begin{align} & p={{2}^{756839}}-1\Leftrightarrow \log \left( p+1 \right)=\log {{2}^{756839}} \\ & \Leftrightarrow \log \left( p+1 \right)=756839.\log 2\approx 227831,24. \\ \end{align}\)
Vậy số p này có 227832 chữ số. chọn B.
Bài 5: Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các công sự tại nhóm nghiên cứ Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một dạng số Mersenne, có giá trị bằng \(M={{2}^{74207281}}-1\). Hỏi \(M\) có bao nhiêu chữ số?
A. 2233862 chữ số.
B. 22338618 chữ số.
C. 22338617 chữ số.
D. 2233863 chữ số.
Giải:
Áp dụng công thức \(n=\left[ \lg A \right]+1\) để tìm các chữ số của số A.
Ta có: \(\log M\approx \log {{2}^{74207281}}=74207281.\log 2\approx 22338617\)
Do đó M có 22338617 chữ số.
Chọn B.
Bài 6: Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khai niệm số Fermat \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\) với n là số nguyên dương không âm. Fermat dự đoán \({{F}_{n}}\) là số nguyên tố, nhưng Euler đã chứng minh được \({{F}_{5}}\) là hợp số. Hãy tìm số chữ số của \({{F}_{13}}\).
A. 1243 chữ số.
B. 1234 chữ số.
C. 2452 chữ số.
D. 2467 chữ số.
Giải:
Ta có: \({{F}_{13}}={{2}^{{{2}^{13}}}}+1\) .
Suy ra \(\log {{F}_{13}}\approx \log {{2}^{{{2}^{13}}}}={{2}^{13}}.\log 2\approx 2466\). Suy ra \({{F}_{13}}\) có 2467 chữ số. Chọn D.
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là toàn bộ đoạn nội dung Phương pháp tính số chữ số của một số tự nhiên. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
