Ôn tập chương 2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song song

a) Định nghĩa:

b) Các định lý:

a) Định nghĩa:

b) Các định lý:

Bài 1:

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC\). Trên đoạn \(BD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(BP = 3PD\).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(CD\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(E = CD \cap NP\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}E \in CD\\E \in NP \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow E = CD \cap \left( {MNP} \right)\).

b) Trong \(\left( {ACD} \right)\) gọi \(Q = AD \cap ME\) thì ta có\(\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ\)

Bài 2:

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(BD\), \(E\) là một điểm thuộc cạnh \(AD\)( \(E\) khác \(A\) và \(D\)).

a) Xác định thiết diện của tứ diện với \(\left( {IJE} \right)\).

b) Tìm vị trí của điểm \(E\) trên \(AD\) sao cho thiết diện là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của tứ diện \(ABCD\) và vị trí của điểm \(E\) trên \(AD\) sao cho thiết diện là hình thoi.

Hướng dẫn:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {IJF} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\IJ \subset \left( {IJF} \right),CD \subset \left( {ACD} \right)\\IJ\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IJF} \right) \cap \left( {ACD} \right) = FE\parallel CD\parallel IJ\).

Thiết diện là tứ giác \(IJEF\).

b) Để thiết diện \(IJEF\) là hình bình hành thì \(IJ\parallel  = EF\) mà \(IJ\parallel  = \frac{1}{2}CD\) nên \(EF\parallel  = \frac{1}{2}CD\), hay \(EF\) là đường trung bình trong tam giác \(ACD\)ứng với cạnh \(CD\) do đó \(E\) là trung điểm của \(AD\).

c) Để thiết diện \(IJEF\) là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình hành, khi đó \(E\) là trung điểm của \(AD\). Mặt khác \(IJEF\) là hình thoi thì \(IJ = IF\), mà \(IJ = \frac{1}{2}CD,IF = \frac{1}{2}AB \Rightarrow AB = CD\).

Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD\) và \(E\) là trung điểm của \(AD\).

Bài 3:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,CD,SA\).

a) Chứng minh \(\left( {SBN} \right)\parallel \left( {DPM} \right)\).

b) \(Q\) là một điểm thuộc đoạn \(SP\)(\(Q\) khác \(S,P\)). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(Q\) và song song với \(\left( {SBN} \right)\).

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \beta  \right)\) đi qua \(MN\) song song với \(\left( {SAD} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BN\parallel DM\\DM \subset \left( {DPM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BN\parallel \left( {DPM} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\)Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}BS\parallel MP\\MP \subset \left( {DPM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BS\parallel \left( {DPM} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {SBN} \right)\parallel \left( {DPM} \right)\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SB \subset \left( {SBN} \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SBN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SB\parallel \left( \alpha  \right)\).

vậy\(\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\\SB\parallel \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right) = QR\parallel SB,R \in AB\) .

Tương tự

\(\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = RK\parallel BN,K \in CD\)

\(\left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right) = KL\parallel SB,L \in SD\).

Vậy thiết diện là tứ giác \(QRKL\).

c) 

Ta có \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \beta  \right) \cap \left( {SAB} \right)\\SA\parallel \left( \beta  \right)\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( \beta  \right) \cap \left( {SAB} \right) = MF\parallel SA,F \in SB\end{array}\)

Tương tự \(\left( \beta  \right) \cap \left( {SCD} \right) = NE//SD,E \in SC\).

Thiết diện là hình thang \(MNEF\).

Bài ôn tập chương Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song song sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học ở chương II Hình học 11. Thông qua phần tóm tắt kiến thưc trọng tâm, các em sẽ có được cách ghi nhớ bài một cách dễ dàng, hiệu quả.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Ôn tập chương II để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

  • A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
  • B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
  • C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
  • D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

• Câu 2:

  Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a,\;b\) và điểm \(M\) ở ngoài \(a\) và ngoài \(b\). Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua \(M\) cắt cả \(a\) và \(b\)?

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 0
  • D. Vô số

• Câu 3:

  Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AD\) không song song với \(BC.\) Gọi \(M,N,\) \(P,Q,R,T\)lần lượt là trung điểm \(AC,BD,BC,CD,SA,SD.\) Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

  • A. \(MP\) và \(RT.\)
  • B. \(MQ\) và \(RT.\)
  • C. \(MN\) và \(RT.\)
  • D. \(PQ\) và \(RT.\)

• Câu 4:

  Cho 5 điểm \(A,\;B,\;C,\;D,\;E\) trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho.

  • A. 10
  • B. 12
  • C. 8
  • D. 14

• Câu 5:

  Cho điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa tam giác \(BCD.\) Lấy \(E,\,\,F\) là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(AB,\,\,AC.\) Khi \(EF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(I,\) thì \(I\) không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?

  • A. \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {DEF} \right).\)
  • B. \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right).\)               
  • C. \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {AEF} \right).\)                                   
  • D. \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABD} \right).\)

• Câu 6:

  Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của \(a\) và \(\left( P \right)\)?

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 1
  • D. 4

• Câu 7:

  Cho \(d\,\parallel \,\left( \alpha  \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) qua \(d\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến \(d'\). Khi đó:

  • A. \(d\,\parallel \,d'.\)            
  • B. \(d\) cắt \(d'\). 
  • C. \(d\) và \(d'\) chéo nhau.      
  • D. \(d \equiv d'.\)  

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Ôn tập chương II sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 4 trang 78 SGK Hình học 11

Bài tập 9 trang 80 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 1 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 7 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 6 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 5 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 4 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 77 SGK Hình học 11

Bài tập 2.42 trang 82 SBT Hình học 11

Bài tập 2.51 trang 84 SBT Hình học 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.