Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Trong thực tế, ta thường gặp các vật như: hộp phấn, kệ sách, bàn học,.. là các hình trong không gian. Môn học nghiên cứu các hình trong không gian được gọi là Hình học không gian. Để mở đầu cho khái niệm này, Chúng tôi xin giới thiệu đến các em bài học Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Các tính chất thừa nhận

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .

Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

1.2. Cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Các kí hiệu:

+ $\left( {ABC} \right)$ là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,B,C$ ( h1)

Cách xác định mặt phẳng

+ (\left( {M,d} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua $d$ và điểm $M \notin d$ (h2)

+ $\left( {{d_1},{d_2}} \right)$ là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ${d_1},{d_2}$ (h3)

Cách xác định mặt phẳng

1.3. Hình chóp và hình tứ diện

a) Hình chóp

Trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cho đa giác lồi ${A_1}{A_2}...{A_n}$. Lấy điểm $S$ nằm ngoài $\left( \alpha \right)$.

Lần lượt nối $S$ với các đỉnh ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ ta được $n$ tam giác $S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}$. Hình gồm đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ và $n$ tam giác $S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}$được gọi là hình chóp , kí hiệu là $S.{A_1}{A_2}...{A_n}$.

Ta gọi $S$ là đỉnh, đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ là đáy , các đoạn $S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}$ là các cạnh bên, ${A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_1}$ là các cạnh đáy, các tam giác $S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}$ là các mặt bên…

b) Hình Tứ diện

Cho bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $ABC,ABD,$

$ACD$ và $\left( {BCD} \right)$ được gọi là tứ diện $ABCD$.

Bài tập minh họa

Bài toán 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$và $\left( \beta \right)$thường được tìm như sau :

Tìm hai đường thẳng $a,b$ lần lượt thuộc $\left( \alpha \right)$và $\left( \beta \right)$, đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ nào đó; giao điểm $M = a \cap b$ chính là điểm chung của $\left( \alpha \right)$và $\left( \beta \right)$.

Giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài 1:

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm $M$ thuộc cạnh $SA$.

Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a) $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {MBD} \right)$.

c) $\left( {MBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$.

d) $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Hướng dẫn giải:

$Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song$

a) Gọi $O = AC \cap BD$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array}$Lại có $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

$ \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

b) $O = AC \cap BD$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right.$

$ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)$.

Và $M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right) \Rightarrow OM = \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)$.

c) Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $F = BC \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in BC \subset \left( {MBC} \right)\\F \in AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$

Và $M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) \Rightarrow FM = \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$

d) Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $E = AB \cap CD$, ta có $SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.

Bài 2:

Cho tứ diện $SABC$. Trên $SA,SB$ và $SC$ lấy các điểm $D,E$ và $F$ sao cho $DE$ cắt $AB$ tại $I$,$EF$ cắt $BC$ tại $J$, $FD$ cắt $CA$ tại $K$. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ta có $I = DE \cap AB,DE \subset \left( {DEF} \right) \Rightarrow I \in \left( {DEF} \right);$

$AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)$.Tương tự $J = EF \cap BC$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in EF \in \left( {DEF} \right)\\J \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 2 \right)$$K = DF \cap AC$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in DF \subset \left( {DEF} \right)\\K \in AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 3 \right)$Từ (1),(2) và (3) ta có $I,J,K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {DEF} \right)$ nên chúng thẳng hàng.

Bài 3:

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ tưng ứng tại các điểm $M,N,P,Q$. Chứng minh MN, PQ, SO đồng quy.

Hướng dẫn giải:

$Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$$

Trong mặt phẳng $\left( {MNPQ} \right)$ gọi $I = MP \cap NQ$.

Ta sẽ chứng minh $I \in SO$ .

Dễ thấy $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {SAC} \right)\\I \in NQ \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right)\\I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in SO$

Vậy $MP,NQ,SO$ đồng qui tại $I$.

Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Để tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Trường hợp 1. Nếu trong $\left( P \right)$ có sẵn một đường thẳng $d'$ cắt $d$ tại $M$, khi đó $\left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in d' \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow M = d \cap \left( P \right)$

Trường hợp 2. Nếu trong $\left( P \right)$ chưa có sẵn $d'$ cắt $d$ thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng $\left( Q \right)$chứa $d$
Bước 2: Tìm giao tuyến $\Delta = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$
Bước 3: Trong $\left( Q \right)$ gọi $M = d \cap \Delta $ thì $M$ chính là giao điểm của $d \cap \left( P \right)$.

Bài 4:

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ có các cạnh đối diện không song song với nhau và $M$ là một điểm trên cạnh $SA$.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $\left( {MCD} \right)$.

b) Tìm giao điểm của đường thẳng $MC$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Hướng dẫn:

a) Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $E = AB \cap CD$.

Trong $\left( {SAB} \right)$ gọi.

Ta có $N \in EM \subset \left( {MCD} \right) \Rightarrow N \in \left( {MCD} \right)$ và $N \in SB$ nên $N = SB \cap \left( {MCD} \right)$.

b) Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $I = AC \cap BD$.

Trong $\left( {SAC} \right)$ gọi $K = MC \cap SI$.

Ta có $K \in SI \subset \left( {SBD} \right)$ và $K \in MC$ nên $K = MC \cap \left( {SBD} \right)$.

3. Luyện tập Bài 1 chương 2 hình học 11

Trong thực tế, ta thường gặp các vật như: hộp phấn, kệ sách, bàn học,.. là các hình trong không gian. Môn học nghiên cứu các hình trong không gian được gọi là Hình học không gian. Để mở đầu cho khái niệm này, Chúng tôi xin giới thiệu đến các em bài học Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.

3.1 Trắc nghiệm về Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 2 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng$.$
- B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng$.$
- C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng$.$
- D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng$.$
Câu 2:
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác$BCD.$ Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right)$là:
- A. $AM{\rm{ }}(M$là trung điểm của$AB).$
- B. $AN{\rm{ }}(N$là trung điểm của $CD).$
- C. $AH{\rm{ }}(H$là hình chiếu của$B$ trên $CD).$
- D. $AK{\rm{ }}(K$là hình chiếu của$C$trên $BD).$
Câu 3:
Cho bốn điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ không đồng phẳng. Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên đoạn $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP = 2PD.$ Giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là giao điểm của:
- A. $CD$ và $NP.$
- B. $CD$ và $MN.$
- C. $CD$ và $MP.$
- D. $CD$ và $AP.$
Câu 4:
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).$ Các điểm $M,\,\,N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SB,\,\,SC\,.$ Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng:
- A. ${a^2}.$
- B. $\frac{{{a^2}}}{2}.$
- C. $\frac{{{a^2}}}{4}.$
- D. $\frac{{{a^2}}}{{16}}.$
Câu 5:
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ cắt $AD,{\rm{ }}BC$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I.$ Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
- A. $I,{\rm{ }}A,{\rm{ }}C.$
- B. $I,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D.$
- C. $I,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B.$
- D. $I,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D.$

Câu 6- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 5 trang 50 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 7 trang 50 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 8 trang 50 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 9 trang 50 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 10 trang 50 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 11 trang 50 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 12 trang 51 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 13 trang 51 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 14 trang 51 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 15 trang 51 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 16 trang 51 SGK Hình học 11 NC