Bài 5: Phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian

1.1. Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)và một đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha  \right)\). Với mỗi điểm \(M\) trong không gian, đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại điểm \(M'\) xác định.

Điểm \(M'\) được gọi là hình chiếu song song của điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) theo phương \(\Delta \).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của \(\Delta \) gọi là phương chiếu.

Phép đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với hình chiếu \(M'\) của nó trên \(\left( \alpha  \right)\) được gọi là phép chiếu song song lên \(\left( \alpha  \right)\) theo phương \(\Delta \).

Ta kí hiệu \(C{h_\Delta }\left( \alpha  \right)\left( M \right) = M'\).

• Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
• Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
• Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng nhau.
• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước ( tam giác cân, đều, vuông…) .

• Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước ( Hình vuông ,hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)
• Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn.
• Hình  elip là hình biểu diễn của hình tròn.

Bài toán 1: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH \(\left( H \right)\)CHO TRƯỚC

Phương pháp:

Để vẽ hình biểu diễn của hình \(\left( H \right)\)ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình \(\left( H \right)\).

• Xác định các yếu tố song song.
• Xác định tỉ số điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).
• Trong hình \(\left( {H'} \right)\) phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).

Ví dụ 1:

Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.

Hướng dẫn:

Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song ( tính song song không được bảo toàn).

Ví dụ 2:

Vẽ hình biểu diễn của tứ diện \(ABCD\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)theo phương chiếu \(AB\)( \(AB\) không song song với \(\left( P \right)\)).

Hướng dẫn:

Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng \(AB\) nên hình chiếu của \(A\) và \(B\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\).

Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A' \equiv B'\)

Các đường thẳng lần lượt đi qua \(C,D\) song song với \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(C',D'\)

thì \(C',D'\) chính là hình chiếu của \(C,D\) lên \(\left( P \right)\) theo phương \(AB\).

Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(A'C'D'\).

Bài toán 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Phương pháp:

Để tính tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\)( tính \(\frac{{MA}}{{MB}}\)) ta xét phép

Chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) theo phương \(l\) không song song với  \(AB\) sao cho ảnh của \(M,A,B\) là ba điểm \(M',A',B'\) mà ta có thể tính được \(\frac{{M'A'}}{{M'B'}}\), khi đó \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{M'A'}}{{M'B'}}\).

Ví dụ 3:

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Xác định các điểm \(M,N\) tương ứng trên các đoạn \(AC',B'D'\) sao cho \(MN\) song song với \(BA'\) và tính tỉ số \(\frac{{MA}}{{MC'}}\).

Hướng dẫn:

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \(BA'\). Ta có \(N\) là ảnh của \(M\) hay \(M\) chính là giao điểm của \(B'D'\) và ảnh \(AC'\) qua phép chiếu này. Do đó ta xác định \(M,N\) như sau:

Trên \(A'B'\) kéo dài lấy điểm \(K\) sao cho \(A'K = B'A'\) thì \(ABA'K\) là hình bình hành nên \(AK//BA'\) suy ra \(K\) là ảnh của \(A\) trên \(AC'\) qua phép chiếu song song.

Gọi \(N = B'D' \cap KC'\). Đường thẳng qua \(N\) và song song với \(AK\) cắt \(AC'\) tại \(M\). Ta có \(M,N\) là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales, ta có \(\frac{{MA}}{{MC'}} = \frac{{NK}}{{NC'}} = \frac{{KB'}}{{C'D'}} = 2\).

Trong quá trình học và giải bài toán Hình học không gian thì việc vẽ hình là hết sức quan trọng. Nội dung bài học sẽ trang bị cho các em những nội dung cần thiết để vẽ hình sao cho chính xác qua đó sẽ giúp cho việc giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 2 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Khẳng định nào sau đây là đúng.

  • A.  Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành.
  • B. Hình biểu diễn của một hình chữ nhật là một hình chữ nhật.
  • C. Hình biểu diễn của một hình vuông là một hình vuông.
  • D. Hình biểu diễn của một hình thoi là một hình thoi.

• Câu 2:

  Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A. Phép chiếu song song biến trung điểm của đoạn thẳng thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
  • B. Phép chiếu song song biến trọng tâm tam giác thành trọng tâm tam giác hình chiếu.
  • C. Phép chiếu song song biến tam của hình bình hành thành tâm của hình bình hành.
  • D. Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu.

• Câu 3:

  Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào? 

  • A. Điểm A
  • B. Điểm B
  • C. Trọng tâm tam giác ABD
  • D.  Trung điểm của đường trung tuyến kẻ từ D của tam giác ABD

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2.33 trang 80 SBT Hình học 11

Bài tập 2.34 trang 80 SBT Hình học 11

Bài tập 2.35 trang 80 SBT Hình học 11

Bài tập 2.36 trang 80 SBT Hình học 11

Bài tập 40 trang 74 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 41 trang 74 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 42 trang 74 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 43 trang 75 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 44 trang 75 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 45 trang 75 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 46 trang 75 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 47 trang 75 SGK Hình học 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.