Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

        Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\,.\) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left( P \right).\)

b.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) chỉ có một điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(A\,.\)

c.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left( P \right)\,.\)

Định lí 1: Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nào đó trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\,.\)

Tức là, \(a \not\subset \left( P \right)\) thì nếu:

\(a\parallel d \subset \left( P \right) \Rightarrow a\parallel \left( P \right).\)

Định lí 2: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì mọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) mà cắt \(\left( P \right)\) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \(a\,.\)

Tức là, nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( Q \right) \cap \left( P \right) = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\)

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. 

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\left( P \right)\parallel a\\\left( Q \right)\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\)

Hệ quả 3: Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng song song với \(b\,.\)

 

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng \(d\) songsong với mặt phẳng  \(\left( \alpha  \right)\) ta chứng minh \(d\) song song với một đường thẳng \(d'\) nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).

Ví dụ 1: 

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \(O\) và \(O'\).

a) Chứng minh \(OO'\) song song với các mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\).

b) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên các cạnh \(AE,BD\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\). Chứng minh \(MN\) song song với \(\left( {CDEF} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Ta có \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(BDF\) ứng với cạnh \(DF\) nên \(OO'\parallel DF\), \(DF \subset \left( {ADF} \right)\)

\( \Rightarrow OO'\parallel \left( {ADF} \right)\).

Tương tự, \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(ACE\) ứng với cạnh \(CE\) nên \(OO'\parallel CE\), \(CE \subset \left( {CBE} \right) \Rightarrow OO'\parallel \left( {BCE} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(I = AN \cap CD\)

Do \(AB\parallel CD\) nên \(\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\)\( \Rightarrow MN\parallel IE\). Mà \(I \in CD \Rightarrow IE \subset \left( {CDEF} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {CDEF} \right)\).

 

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \(\left( \alpha  \right)\) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel d\\d \subset \left( \beta  \right)\\M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = d'\parallel d,M \in d'\)

Ví dụ 2: 

Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc cạnh \(AB\) và \(CD\), \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \(MN\) và song song với \(SA\).

a) Xác định thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi\(\left( \alpha  \right)\).

b) Tìm điều kiện của \(MN\) để thiết diện là một hình thang.

Hướng dẫn:

 

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right) = MQ\parallel SA,Q \in SB\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap MN\)

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( \alpha  \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAC} \right)\)

Vậy \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha  \right) = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\)

Từ đó ta có \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ,\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\).

Thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).

b) Tứ giác \(MNPQ\) là một hình thang khi \(MN\parallel PQ\) hoặc \(MQ\parallel NP\).

Trường hợp 1:

Nếu \(MQ\parallel NP\) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\)

Mà \(NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu \(MN\parallel PQ\)thì ta có các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( \alpha  \right),\left( {SBC} \right)\)đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,BC,PQ\) nên \(MN\parallel BC\).

Đảo lại nếu \(MN\parallel BC\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( \alpha  \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MN\parallel PQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.

Vậy để tứ giác \(MNPQ\) là hình thang thì điều kiện là \(MN\parallel BC\).

Bài 1:

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\); \({G_1},{G_2}\) tương ứng là trọng tâm các tam giác \(SAB,SBC\).

a) Chứng minh \(AC\parallel \left( {SMN} \right)\).

b) \({G_1}{G_2}\parallel \left( {SAC} \right)\).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {B{G_1}{G_2}} \right)\).

Hướng dẫn:

 

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\parallel \left( {SAC} \right)\).

b) \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\) và \(SBC\) nên

\(\frac{{S{G_1}}}{{SM}} = \frac{{S{G_2}}}{{SN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel MN\) mà \(MN\parallel AC \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel AC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel \left( {SAC} \right)\).

c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {B{G_1}{G_2}} \right)\\NM \subset \left( {ABC} \right)\\{G_1}{G_2} \subset \left( {BG1{G_2}} \right)\\MN\parallel {G_1}{G_2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( {B{G_1}{G_2}} \right) = d\parallel MN\parallel {G_1}{G_2},B \in d\).

Bài 2:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một tứ giác lồi. Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua \(O\), song song với \(AB\) và \(SC\).

Hướng dẫn:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(O\) và song song với \(AB\) và \(SC\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( P \right) \cap \left( {SAC} \right)\\SC \subset \left( {SAC} \right)\\SC\parallel \left( P \right)\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( P \right) = OM\parallel SC,O \in SA\).

Tương tự

 \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right) \cap \left( P \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\AB\parallel \left( P \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( P \right) = MN\parallel AB,N \in SB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right)\\SC \subset \left( {SBC} \right)\\SC\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( P \right) = NP\parallel SC,\)\(P \in BC\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\)gọi \(Q = PO \cap AD\) thì thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em những Vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng, đi sâu vào các dạng toán liên quan đến Đường thẳng và mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\;b\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Giả sử \(a\,\parallel \,\left( \alpha  \right)\), \(b \subset \left( \alpha  \right)\). Khi đó: 

  • A. \(a\,\parallel \,b.\)
  • B. \(a,\;b\) chéo nhau.          
  • C. \(a\,\parallel \,b\) hoặc \(a,\;b\) chéo nhau.
  • D. \(a,\;b\) cắt nhau.

• Câu 2:

  Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Khẳng định nào sau đây đúng? 

  • A. Nếu \(\left( P \right)\) song song với \(a\) thì \(\left( P \right)\) cũng song song với \(b.\)
  • B. Nếu \(\left( P \right)\) cắt \(a\) thì \(\left( P \right)\) cũng cắt \(b.\)
  • C. Nếu \(\left( P \right)\) chứa \(a\) thì \(\left( P \right)\) cũng chứa \(b.\)
  • D. Các khẳng định A, B, C đều sai.

• Câu 3:

  Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? 

  • A. 1.
  • B. 2.
  • C. 3.
  • D. Vô số.

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2.16 trang 71 SBT Hình học 11

Bài tập 2.17 trang 71 SBT Hình học 11

Bài tập 2.18 trang 71 SBT Hình học 11

Bài tập 2.19 trang 71 SBT Hình học 11

Bài tập 2.20 trang 71 SBT Hình học 11

Bài tập 2.21 trang 72 SBT Hình học 11

Bài tập 23 trang 59 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 24 trang 59 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 25 trang 59 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 26 trang 59 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 27 trang 60 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 28 trang 60 SGK Hình học 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.