Lý thuyết và bài tập về Năng lượng điện từ của mạch dao động LC lí tưởng môn Vật lý 12

NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TỪ CỦA MẠCH DAO ĐỘNG LC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 

1. Năng lượng điện trường

Năng lượng tập trung hoàn toàn ở tụ điện:

\({W_C} = \frac{1}{2}C{u^2} = \frac{1}{2}\frac{{{q^2}}}{C}\)

2. Năng lượng từ trường

Năng lượng tập trung ở cuộn cảm:

\({W_L} = \frac{1}{2}L{i^2}\)

3. Năng lượng điện từ.

Năng lượng điện từ:

\(W = {W_C} + {W_L} = \frac{1}{2}C{u^2} + \frac{1}{2}L{i^2}\)

Năng lượng điện từ của mạch dao động LC lí tưởng được bảo toàn.

Ta có:

\(q = {Q_0}\cos \omega t,\,i = q'\left( t \right) = - \omega {Q_0}\sin \omega t\)

Khi đó

\(\begin{array}{l} W = {W_L} + {W_C} = \frac{1}{2}L{i^2} + \frac{1}{2}\frac{{{q^2}}}{C}\\ = \frac{1}{2}L{\omega ^2}Q_0^2{\sin ^2}\omega t + \frac{1}{2}.\frac{{Q_0^2}}{C}{\cos ^2}\omega t\\ = \frac{{Q_0^2}}{{2C}}{\sin ^2}\omega t + \frac{{Q_0^2}}{{2C}}{\cos ^2}\omega t\\ = \frac{{Q_0^2}}{{2C}} = {{\rm{W}}_{C\max }}\\ = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}{Q_0}{U_0}\\ = {{\rm{W}}_{L\max }} = \frac{1}{2}LI_0^2. \end{array}\)

Vậy:

\(\begin{array}{l} W = {{\rm{W}}_{C\max }} = {{\rm{W}}_{L\max }}\\ = \frac{1}{2}LI_0^2 = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}.\frac{{Q_0^2}}{C} \end{array}\)

+ Nếu i, q, u biến thiên với tần số góc là , tần số là f và chu kì T thì năng lượng điện trường và năng lượng từ trường biến thiên tuần hoàn với tần số góc

\(\omega ' = 2\omega = \frac{2}{{\sqrt {LC} }},\) tần số f' = 2f và chu kì \(T' = \frac{T}{2} = \pi \sqrt {LC} .\)

+ Ta có:

\(\begin{array}{l} W = \frac{1}{2}LI_0^2 = \frac{1}{2}CU_0^2\\ = \frac{1}{2}.\frac{{Q_0^2}}{C} = \frac{1}{2}{Q_0}{U_0}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {U_0} = {I_0}\sqrt {\frac{L}{C}} \\ {I_0} = \sqrt {\frac{C}{L}} {U_0}. \end{array} \right.. \end{array}\)

+ Các giá trị tức thời.

Năng lượng của mạch:

\(W = \frac{1}{2}LI_0^2 = \frac{1}{2}L{i^2} + \frac{1}{2}C{u^2} \Rightarrow {u^2} = \frac{L}{C}\left( {I_0^2 - {i^2}} \right).\)

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l} W = \frac{1}{2}LU_0^2 = \frac{1}{2}L{i^2} + \frac{1}{2}C{u^2}\\ \Rightarrow {i^2} = \frac{C}{L}\left( {U_0^2 - {u^2}} \right).\\ W = \frac{{Q_0^2}}{{2C}} = \frac{1}{2}L{i^2} + \frac{{{q^2}}}{{2C}}\\ \Rightarrow {i^2} = \frac{1}{{LC}}\left( {Q_0^2 - {q^2}} \right) = {\omega ^2}\left( {Q_0^2 - {q^2}} \right). \end{array}\)

+ Mối quan hệ giữa WL và WC. Khi WL = WC (năng lượng từ trường bằng n lần năng lượng điện trường) ta có:

\(\begin{array}{l} {{\rm{W}}_C} = \frac{1}{{n + 1}}{\rm{W}}\\ \Leftrightarrow {q^2} = \frac{1}{{n + 1}}Q_0^2 \Rightarrow q = \frac{{\left| {{Q_0}} \right|}}{{\sqrt {n + 1} }}. \end{array}\)

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l} u = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{{\sqrt {n + 1} }};i = \sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} \left| {{I_0}} \right|.\\ {{\rm{W}}_C} = n{{\rm{W}}_n} \Rightarrow {{\rm{W}}_L} = \frac{1}{n}{{\rm{W}}_C}\\ \Rightarrow q = \frac{{\left| {{Q_0}} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{n} + 1} }}. \end{array}\)

4. Sự tương ứng giữa dao động cơ và dao động điện từ:

Li độ x trong dao động điều hoà tương ứng với điện tích q trong dao động điện từ: .\(x \sim q\)

Vận tốc v tương ứng với dòng điện i: \(v\sim i\).

Động năng Wd tương ứng với năng lượng từ trường \({W_L}:{W_d} \sim {W_L}\)

Thế năng Wt tương ứng với năng lượng điện trường  \({W_C}:{W_t} \sim {W_C}\)

Khối lượng m tương ứng với L: \(m \sim L\).

Độ cứng k tương ứng với \(\frac{1}{C}:k \sim \frac{1}{C}\).

Nếu mạch có điện trở thuần \(r \ne 0\) thì dao động sẽ tắt dần. Để duy trì dao động cần cung cấp cho mạch một năng lượng có công suất:

\(P = {I^2}r = \frac{{{\omega ^2}Q_0^2.r}}{2} = \frac{{{\omega ^2}{C^2}U_0^2.r}}{2} = \frac{{U_0^2.RC}}{{2L}}.\)

II. VÍ DỤ MINH HỌA

 

Ví dụ 1: [Trích đề thi Chuyên Đại Học Vinh 2017]. Một mạch dao động điện từ LC lý tưởng đang dao động với điện tích cực đại trên một bản cực của tụ điện là Q0. Cứ sau những khoảng thời gian bằng nhau và bằng 10-6s thì năng lượng từ trường lại bằng  \(\frac{{Q_0^2}}{{4C}}\). Tần số của mạch dao động là: A.   \(2,{5.10^7}\,Hz.\)                 B.   \({10^6}\,Hz.\)                             C.    \(2,{5.10^5}\,Hz.\)               D.  \({10^5}\,Hz.\)

HD giải: Ta có:

\(\begin{array}{l} {{\rm{W}}_t} = \frac{{Q_0^2}}{{4C}} = \frac{{\rm{w}}}{2} \Rightarrow q = \frac{{ \pm {Q_0}}}{{\sqrt 2 }}.\\ \Delta t = {10^{ - 6}} = \frac{T}{4}\\ \Rightarrow T = {4.10^{ - 6}}\\ \Rightarrow f = \frac{1}{T} = 2,{5.10^5}\,Hz. \end{array}\)

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong một mạch dao động lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Gọi L là độ tự cảm và C là điện dung của mạch. Tại thời điểm t, hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện là u và cường độ dòng điện trong mạch là i. Gọi U0 là hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện và I0 là cường độ dòng điện cực đại trong mạch. Hệ thức liên hệ giữa u và i là: A.   \({i^2} = \frac{C}{L}\left( {U_0^2 - {u^2}} \right).\)                                B.     \({i^2} = \frac{L}{C}\left( {U_0^2 - {u^2}} \right).\)      C.     \({i^2} = LC\left( {U_0^2 - {u^2}} \right).\)                           D.  \({i^2} = \sqrt {LC} \left( {U_0^2 - {u^2}} \right).\)

HD giải:  

\(\begin{array}{l} W = \frac{1}{2}C{u^2} + \frac{1}{2}L{i^2} = \frac{1}{2}CU_0^2\\ \Rightarrow {i^2} = \frac{C}{L}\left( {U_0^2 - {u^2}} \right). \end{array}\)

Chọn A.

Ví dụ 3: Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về năng lượng của mạch dao động điện từ LC có điện trở thuần không đáng kể? A. Năng lượng điện từ của mạch dao động biến đổi tuần hoàn theo thời gian. B. Năng lượng điện trường và năng lượng từ trường cũng biến thiên tuần hoàn theo một tần số chung. C. Năng lượng điện từ của mạch dao động bằng năng lượng điện trường cực đại ở tụ điện. D. Năng lượng điện từ của mạch dao động bằng năng lượng từ trường cực đại ở cuộn cảm.

HD giải: Khi điện trở thuần không đáng kể khi đó năng lượng điện từ  được bảo toàn nên A sai.

 Chọn A.

Ví dụ 4: Biểu thức nào sau đây không phải là biểu thức tính năng lượng điện từ trong mạch dao động? A.  \(W = \frac{{Q_0^2}}{{2L}}.\)                     B. \({\rm{W}} = \frac{1}{2}CU_0^2\).                      C.  \({\rm{W}} = \frac{1}{2}LI_0^2\)              D.  \(W = \frac{{Q_0^2}}{{2C}}.\)

HD giải:  

\(\begin{array}{l} {\rm{W}} = \frac{1}{2}LI_0^2 = {\rm{W}}\\ = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}.\frac{{Q_0^2}}{{2C}}. \end{array}\)

Chọn A.

Ví dụ 5: Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về mạch dao động điện từ LC có điện trở thuần không đáng kể? A. Năng lượng của mạch dao động gồm năng lượng điện trường tập trung ở tụ điện và năng lượng từ trường tập trung ở cuộn cảm. B. Năng lượng điện trường và năng lượng từ trường cùng biến thiên tuần hoàn theo một tần số chung là tần số của dao động điện từ. C. Tại mọi thời điểm, tổng năng lượng điện trường và năng lượng từ trường là không đổi. D. Dao động điện từ trong mạch là một dao động tự do.

HD giải: Năng lượng điện trường và năng lượng từ trường cùng biến thiên tuần hoàn theo một tần số chung và gấp đôi tần số của dao động điện từ do đó B sai.

Chọn B.

...

---Để xem tiếp nội dung các bài tập phần Vận dụng, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Năng lượng điện từ của mạch dao động LC lí tưởng môn Vật lý 12. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• 20 câu hỏi trắc nghiệm về năng lượng của vật DĐĐH môn Vật lý 12 năm 2020

• Rèn luyện kỹ năng lập phương trình Dao động điều hòa Vật lý 12

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !