Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

a) Định nghĩa Acgumen của số phức.

- Điểm \(M \ne O\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là \(Ox\) và tia cuối \(OM\) được gọi là acgumen của số phức \(z\).

- Nếu \(\alpha \) là một acgumen của \(z\) thì \(\alpha  + k2\pi \) cũng là một acgumen của \(z\) với mỗi \(k \in Z\).

b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

- Số phức \(z = a + bi\) là dạng đại số của \(z\).

- Số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là dạng lượng giác của \(z\), ở đó:

+ \(r\) là mô đun của số phức.

+ \(\varphi \) là acgumen của số phức.

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức \({z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right),{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}{z_1} \pm {z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \pm {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = \left( {{r_1}\cos {\varphi _1} \pm {r_2}\cos {\varphi _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\varphi _1} \pm {r_2}\sin {\varphi _2}} \right)\\{z_1}.{z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right).{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\end{array}\)

d) Công thức Moivre:

Cho số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Khi đó:

\({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)\)

Dạng 1: Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác.

Cho số phức \(z = a + bi\), viết \(z\) dưới dạng \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

- Bước 2: Tính \(\varphi \) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{a}{r}\\\sin \varphi  = \dfrac{b}{r}\end{array} \right.\)

Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu thức.

Bài 1: Cho số phức z thảo mãn \(\left| z-4i-2 \right|=4.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|.\)

A. 1

B. 3

C. 7

D. 8

Lời giải

Giả sử z=a+bi, ta có: \(\left| a+bi-3+4i \right|=4\Rightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b+4 \right)}^{2}}=16\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & a-3=4\sin \varphi \\ & b+4=4\cos \varphi \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3+4\sin \varphi \\ & b=4\cos \varphi -4 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9+16{{\sin }^{2}}\varphi +24\sin \varphi +16-32\cos \varphi \\ & =41+24\sin \varphi -32\cos \varphi =41+40\left( \frac{3}{5}\sin \varphi -\frac{4}{5}\text{cos}\varphi \right) \\ \end{align}\)

Đặt \(\text{cos}\varphi \text{=}\frac{3}{5},\sin \varphi =\frac{4}{5}\Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=41+40\sin \left( \varphi -\alpha  \right)\ge 1.\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\varphi -\alpha =-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}+\alpha +k2\pi .\)

Vậy \(\min \left| z \right|=1.\)

Chọn A.

Bài 2:  Cho \(\text{w}=\sin \alpha +i\cos \alpha \) với \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\) thỏa mãn \(\left| {{\text{w}}^{2}}+1 \right|=2\left| \text{w} \right|\)

Giá trị của \(P={{\left( 26{{\left| \overline{\text{w}} \right|}^{2}}-3 \right)}^{2018}}\) là

A. \(P={{23}^{2018}}.\)

B. \(P=-{{23}^{2018}}.\)

C. \(P={{23}^{2018}}i.\)

D. \(P={{29}^{2018}}.\)

Lời giải

Ta có: \({{\text{w}}^{2}}+1={{\left( \sin \alpha +i\cos \alpha  \right)}^{2}}+1=1-\cos 2\alpha +i\sin 2\alpha \Rightarrow \left| {{\text{w}}^{2}}+1 \right|=\sqrt{2-2\cos 2\alpha }.\)

\(2\left| \text{w} \right|=\sqrt{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha }=2\)

Từ giả thiết: \(\left| {{\text{w}}^{2}}+1 \right|=2\left| \text{w} \right|\Rightarrow \cos 2\alpha =0\Leftrightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}\) vì \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\).

\(\Rightarrow \text{w}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \overline{\text{w}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{\left| \overline{\text{w}} \right|}^{2}}=1\)

Vậy \(P={{23}^{2018}}.\)

Chọn A           

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!