Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$. Khi đó:

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là:

$k=f^{\prime }\left(x_0\right)$

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là:

$y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Cho hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ và điểm $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $\left(C\right)$ tại $M$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm hệ số góc của tiếp tuyến $k=f^{\prime }\left(x_0\right)$.

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại $M$: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$.

Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc $k$ cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc $k$.

- Bước 2: Giả sử $M\left(x_0;y_0\right)$ là tiếp điểm. Khi đó $x_0$ thỏa mãn $f^{\prime }\left(x_0\right)=k$.

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm $x_0\Rightarrow y_0=f\left(x_0\right)$.

- Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=k\left(x-x_0\right)+y_0$.

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm.

Cho đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ và điểm $A\left(a;b\right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $\left(C\right)$ biết tiếp tuyến đi qua $A$.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng qua $A$ và có hệ số góc $k$. Khi đó $\mathrm{\Delta }:y=k\left(x-a\right)+b$

- Bước 2: Để $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của $\left(C\right)\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)=k\left(x-a\right)+b\\ f^{\prime }\left(x\right)=k\end{array}$  có nghiệm.

- Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm $k$, thay vào ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

- Hệ số góc của tiếp tuyến với $\left(C\right)$ tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$ là $k=f^{\prime }\left(x_0\right)$.

- Cho đường thẳng $d:y=k_{d}x+a$.

+) $\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }d\Rightarrow k_{\mathrm{\Delta }}.k_d=-1\iff k_{\mathrm{\Delta }}=-{\displaystyle \frac{1}{k_d}}$

+) $\mathrm{\Delta }//d\Rightarrow k_{\mathrm{\Delta }}=k_d$

+) $\left(\mathrm{\Delta },d\right)=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\left|{\displaystyle \frac{k_{\mathrm{\Delta }}-k_d}{1+k_{\mathrm{\Delta }}.k_d}}\right|$

+) $\left(\mathrm{\Delta },Ox\right)=\alpha \Rightarrow k_{\mathrm{\Delta }}=\pm \tan \alpha$

Câu 1:  Biết với một điểm $\text{M}$ tùy ý thuộc $\left(\text{C}\right)$: y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+2}\), tiếp tuyến tại $\text{M}$ cắt $\left(\text{C}\right)$ tại hai điểm $\text{A,B}$ tạo với $\text{I}(-2;-1)$ một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là?

A. 2 (đvdt ).

B. 4 (đvdt ).

C. 5 (đvdt ).

D. 7 (đvdt ).

Hướng dẫn giải

Chọn A

$y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}=x+1+\frac{1}{x+2}$. Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{1}{{(x+2)}^2}$.

Gọi $M(x_0;y_0)\in (C)\Rightarrow y_0=x_0+1+\frac{1}{x_0+2}(\ast )$

Tiếp tuyến với (C) tại M là $\mathrm{\Delta }:y=[1-\frac{1}{{(x_0+2)}^2}](x-x_0)+x_0+1+\frac{1}{x_0+2}$

Nếu $\mathrm{\Delta }\cap x=-2$ tại điểm A, thì $y_A=-\frac{x_0}{x_0+2}\Rightarrow A(-2;-\frac{x_0}{x_0+2})$

Nếu $\mathrm{\Delta }$ cắt tiệm cận xiện tại điểm B thì

$[1-\frac{1}{{(x_0+2)}^2}](x_B-x_0)+x_0+1+\frac{1}{x_0+2}=x_B+1\iff x_B=2x_0+2\Rightarrow y_B=x_B+1=2x_0+3$

$\Rightarrow B(2x_0+2;2x_0+3)$

Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ $\text{I}(-\text{2};-\text{1}).$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x=-2 suy ra $\text{H}(-\text{2};2x_0+3)$

Diện tích tam giác $\text{AIB}:S=\frac{1}{2}AI.BH=\frac{1}{2}|y_A-y_I|.|x_B-x_H|=\frac{1}{2}|-\frac{x_0}{x_0+2}+1||2x_0+2+2|$

Hay $S=\frac{1}{2}\frac{2}{|x_0+2|}.2|x_0+2|=2$ ( đvdt )

Chứng tỏ S là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Câu 2: Cho hàm số $y=-x^3+3x+2$ có đồ thị là $\left(C\right)$. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

A. $M(-\frac{8}{27};0)$.

B. $M(-\frac{28}{7};0)$.

C. $M(-\frac{8}{7};0)$.

D. $M(-\frac{28}{27};0)$.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Xét điểm $M(m;0)\in Ox$.

Cách 1: Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình: y=k(x-m).

d là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ \Leftrightarrow \) hệ $\{\begin{array}{rl}& -x^3+3x+2=k(x-m)\\ & -3x^2+3=k\end{array}$ có nghiệm x

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được:

$3(x^2-1)(x-m)-(x^3-3x-2)=0$

$\iff (x+1)(3x^2-3(1+m)x+3m)-(x+1)(x^2-x-2)=0$

$\iff (x+1)[2x^2-(3m+2)x+3m+2]=0\left(1\right)$

$\iff x=-1$ hoặc $2x^2-(3m+2)x+3m+2=0\left(2\right)$

Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì $\left(1\right)$ phải có nghiệm x, đồng thời phải có 3 giá trị k khác nhau, khi đó $\left(2\right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác -1, đồng thời phải có 2 giá trị k khác nhau và khác 0

$\left(2\right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác -1 khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=(3m+2)(3m-6)>0\\ & 3m+3\ne 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& m<-\frac{2}{3}\text{, }m>2\\ & m\ne -1\end{array}\left(3\right)$

Với điều kiện $\left(3\right)$, gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $\left(2\right)$, khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là $k_1=-3x_1^2+3,k_2=-3x_2^2+3,k_3=0$.

Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau $k_1.k_2=-1$ và $k_1\ne k_2$

$k_1.k_2=-1\iff 9(x_1^2-1)(x_2^2-1)=-1\iff 9x_1^2{x}_2^2-9{(x_1+x_2)}^2+18x_1{x}_2+10=0(i)$

Mặt khác theo Định lí Viet $x_1+x_2=\frac{3m+2}{2};x_1{x}_2=\frac{3m+2}{2}$.

Do đó $(i)\iff 9(3m+2)+10=0\iff m=-\frac{28}{27}$ thỏa điều kiện $\left(3\right)$, kiểm tra lại ta thấy $k_1\ne k_2$

Vậy, $M(-\frac{28}{27};0)$ là điểm cần tìm.

Cách 2: Gọi $N(x_0;y_0)\in (C)$. Tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ của $\left(C\right)$ tại N có phương trình: $y=(-3x_0^2+3)(x-x_0)+y_0$.

$\mathrm{\Delta }$ đi qua $M\iff 0=(-3x_0^2+3)(m-x_0)+y_0$

$\iff 3(x_0-1)(x_0+1)(x_0-m)-{(x_0+1)}^2(x_0-2)=0$

$\iff (x_0+1)[2x_0^2-(3m+2)x_0+3m+2]=0$

$\iff [\begin{array}{rl}& x_0=-1\\ & 2x_0^2-(3m+2)x_0+3m+2=0\text{ (a)}\end{array}$

Từ M vẽ được đến $\left(C\right)$ ba tiếp tuyến $\iff (a)$ có hai nghiệm phân biệt khác -1, và có hai giá trị $k=-3x_0^2+3$ khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={(3m+2)}^2-8(3m+2)>0\\ & 2+2(3m+2)\ne 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& (3m+2)(3m-6)>0\\ & 3m+3\ne 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& m\ne -1\\ & m<-\frac{2}{3},m>2\end{array}$ (b).

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=-1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán $\iff (-3p^2+3)(-3q^2+3)=-1$ (trong đó p,q là hai nghiệm của phương trình (a)) $\iff 9p^2{q}^2-9(p^2+q^2)+10=0\iff 9p^2{q}^2-9{(p+q)}^2+18pq+10=0$

$\iff \frac{9{(3m+2)}^2}{4}-\frac{9{(3m+2)}^2}{4}+9(3m+2)+10=0\iff m=-\frac{28}{27}$

Vậy $M(-\frac{28}{27};0)$.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!