Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Toán 12

1. Kiến thức cần nhớ

a) Căn bậc hai của số phức.

- Số phức w=x+yi(x,yR) là căn bậc hai của số phức z=a+bi nếu w2=z.

- Mọi số phức z0 đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau ww

- Số thực a>0 có hai căn bậc hai là ±a; số thực a<0 có hai căn bậc hai là ±i|a|.

b) Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai tổng quát: Az2+Bz+C=0(A0).

- Biệt thức Δ=B24AC.

+ Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép z1,2=B2A

+ Nếu Δ0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt z1,2=B±Δ2A (ở đó Δ là kí hiệu căn bậc hai của số phức Δ)

- Hệ thức Vi-et: {z1+z2=BAz1z2=CA

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức.

Phương pháp:

Cách 1: Biến đổi z=a+bi dưới dạng bình phương của số phức khác.

Cách 2: Giả sử w=x+yi(x,yR) là một căn bậc hai của z, khi đó w2=z{x2y2=a2xy=b

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức z=8+6i.

Giải:

Cách 1:

Ta có: z=8+6i=9+6i1=32+2.3i+i2=(3+i)2

Do đó các căn bậc hai của số phức z3+i3i.

Cách 2:

Giả sử w=x+yi(x,yR) là một căn bậc hai của số phức z=8+6i

Khi đó w2=z{x2y2=82xy=6{y=3xx29x2=8{y=3xx48x29=0{y=3x[x2=1(L)x2=9(TM)[x=3,y=1x=3,y=1

Vậy có hai căn bậc hai của số phức z=8+6i3+i3i.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính Δ=B24AC.

- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của Δ

- Bước 3: Tính các nghiệm:

+ Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép z1,2=B2A

+ Nếu Δ0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt z1,2=B±Δ2A (ở đó Δ là kí hiệu căn bậc hai của số phức Δ)

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình z2+z+1=0.

Giải:

Ta có: Δ=124.1.1=3, các căn bậc hai của 3i3i3

Do đó phương trình có nghiệm z1=1+i32z2=1i32.

Vậy tập nghiệm của phương trình S={1i32;1+i32}

Dạng 3: Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu định lý vi-et.

- Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm.

- Bước 3: Thay các giá trị tổng và tích vào biểu thức để tính giá trị.

Dạng 4: Giải phương trình bậc cao.

Phương pháp:

Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình z4+1=0.

Giải:

Ta có: z4+1=0z4i2=0(z2i)(z2+i)=0[z2=i(1)z2=i(2)

Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức z=i.

Gọi w=x+yi(x,yR) là một căn bậc hai của số phức z=i. Khi đó:

w2=i{x2y2=02xy=1[{x=y2x2=1{x=y2y2=1(L)[x=y=12x=y=12(1)[z=12+12iz=1212i

Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức z=i

z=i=i2.i nên các căn bậc hai của zi.(12+12i)=12+12ii(1212i)=1212i

Vậy phương trình có các nghiệm z1=12+12i;z2=1212i;z3=12+12i;z4=1212i.

3. Bài tập

Bài 1: Tìm các số thực a,b,c sao cho hai phương trình az2+bz+c=0,cz2+bz+a+1616i=0 có nghiệm chung là z=1+2i

A. (a,b,c)=(1;2;5)

B. (a,b,c)=(1;2;5)

C. (a,b,c)=(1;2;5)

D. (a,b,c)=(1;2;5)

Lời giải

Theo giả thiết phương trình az2+bz+c=0 có nghiệm z=1+2i khi

a(1+2i)2+b(1+2i)+c=03a+b+c+(4a+2b)i=0[3a+b+c=04a+2b=0(1)

Tương tự phương trình cz2+bz+a+1616i=0 có nghiệm z=1+2i khi

c(1+2i)2+b(1+2i)+a+1616i=0c(3+4i)+b+2bi+a+1616i=0

(a+b3c+16)+2(b+2c8)i=0

{a+b3c+16=0b+2c8=0(2)

Từ (1), (2) suy ra (a,b,c)=(1;2;5).

Chọn A.

Bài 2: Gọi z1,z2 là 2 nghiệm của phương trình z22z+2=0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số phức ω=(z11)2015+(z21)2016.

A. |ω|=5

B. |ω|=2

C. |ω|=1

D. |ω|=3

Lời giải

Phương trình z22z+2=0Δ=12=1=i2.

Suy ra phương trình có hai nghiệm

[z1=1iz2=1+i hoặc [z1=1+iz2=1i

Thay [z1=1iz2=1+i vào ω ta được : ω=(i)2015+i2016=(i2)1007.i+(i2)1013=1+i.

Thay [z1=1+iz2=1i vào ω=i2015+(i)2016=(i2)1002.i+(i2)1003=1+i.

Vậy |ω|=2.

Chọn B.

Bài 3: Tìm các số thực b,c để phương trình (với ẩn z) z2+bz+c=0 nhận z=1+i là một nghiệm.

A. b=2;c=-2

B. b=2;c=2

C. b=-2;c=-2

D. b=-1;c=1

Lời giải

Nếu z=1+i là nghiệm thì : (1+i)2+b(1+i)+c=0b+c+(b+2)i=0{b+c=0b+2=0

{b=2c=2

Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận z làm nghiệm.

Vậy nếu z=1+i là một nghiệm thì z=1i cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét:

{(1+i)+(1i)=bb=2(1+i)(1i)=2=c

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?