Hướng dẫn các bài toán liên quan đến vận dụng Định luật phóng xạ môn Vật lý 12

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VẬN DỤNG ĐỊNH LUẬT PHÓNG XẠ

1. Khối lượng còn lại và khối lượng đã bị phân rã

Giả sử khối lượng nguyên chất ban đầu là m₀ thì đến thời điểm t khối lượng còn lại và khối lượng bị phân rã lần lượt là:  

$\{\begin{array}{l}m=m_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ \mathrm{\Delta }m=m_0\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=m_0{e}^{-\frac{t}{T}}\\ \mathrm{\Delta }m=m_0\left(1-e^{-\frac{t}{T}}\right)\end{array}$

Ví dụ 1: Radon ${}_{86}^{222}Rn$  là một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã là 3,8 ngày đêm. Nếu ban đầu có 64 g chất này thì sau 19 ngày khối lượng Radon bị phân rã là:

A. 62 g.                       B. 2g.                         

C. 16g.                         D. 8g.

Hướng dẫn

$m=m_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}=64\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{3,8}19}\right)=62\left(gam\right)$

Chọn A

Ví dụ 2: Sau 1 năm, khối lượng chất phóng xạ nguyên chất giảm đi 3 lần. Hỏi sau 2 năm khối lượng chất phóng xạ trên giảm đi bao nhiêu lần so với ban đầu?

A. 9 lần.                      B. 6 lần.                                  

C. 12 lần.                    D. 4,5 lần.

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}m=m_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ \Rightarrow \frac{m_0}{m}=e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\{\begin{array}{c}t=1\left(nam\right)\Rightarrow \frac{m_0}{m_1}=e^{-\frac{\ln 2}{T}1}=3\Rightarrow e^{\frac{\ln 2}{T}}=3\\ t=2\left(nam\right)\Rightarrow \frac{m_0}{m_2}=e^{-\frac{\ln 2}{T}2}=3^2=9\end{array}\end{array}$

Chọn A.

Ví dụ 3: Ban đâu có một mẫu Po210 nguyên chất khối lượng 1(g) sau 596 ngày nó chỉ còn 50 mg nguyên chất. Chu kì của chất phóng xạ là

A. 138,4 ngày.                        B. 138,6 ngày.                        

C. 137,9 ngày.                        D. 138 ngày.

Hướng dẫn

$m=m_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\Rightarrow \frac{m_0}{m}=e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\Rightarrow 20=e^{\frac{\ln 2}{T}.596}\Rightarrow T=137,9$ (ngày)

 Chọn C.

Ví dụ 4: Na24 là một chất phóng xạ  có chu kỳ bán rã T = 15 giờ. Một mẫu Na24 nguyên chất ở thời điểm t = 0 có khối lượng mo = 72 g. Sau một khoảng thời gian t, khối lượng của mẫu chất chl còn m = 18 g. Thời gian t có giá trị

A. 30 giờ.                    B. 45 giờ.                   

C. 120 giờ.                  D. 60 giờ.

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}m=m_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ \Rightarrow \frac{m_0}{m}=e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ \Rightarrow \frac{72}{18}=e^{\frac{\ln 2}{15}t}\\ \Rightarrow t=30\left(h\right)\end{array}$

Chọn A

2. Số hạt còn lại và số hạt đã bị phân rã

Số nguyên tử ban đầu:  $\{\begin{array}{l}{N}_0=\frac{m_0}{A}.N_A\\ N_0=\frac{khoiluongtoanbo}{Khoiluong1hat}\end{array}$

Giả sử số hạt nguyên chất ban đầu là N₀ thì đến thời điểm t số hạt còn lại và số hạt bị phân rã lần lượt là:  

$\{\begin{array}{l}N=N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ \mathrm{\Delta }N=N_0\left(1-e^{\frac{\ln 2}{T}t}\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}N=N_0{2}^{-\frac{t}{T}}\\ \mathrm{\Delta }N=N_0\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)\end{array}$

Ví dụ 1: Ban đầu có 5 gam chất phóng xạ radon ${}_{86}^{222}Rn$ với chu kì bán rã 3,8 ngày, số nguyên tử radon còn lại sau 9,5 ngày là

A. 23,9.10²¹.               B. 2,39.10²¹.               

C. 3.29.10²¹.               D. 32,9.10²¹.

Hướng dẫn

$N=N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}=\frac{m_0}{A}{N}_A{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}=\frac{5}{222}.6,{02.10}^{23}.e^{-\frac{\ln 2}{3,8}.9,5}\approx 2,{39.10}^{21}$

 Chọn B.

Ví dụ 2: Chât phóng xạ X có chu kì bán rã T. Ban đâu (t = 0), một mẩu chất phóng xạ X có số hạt là N₀. Sau khoảng thời gian t = 2T (kể từ t = 0), số hạt nhân X đà bị phân rã là

A. 0,25N₀.                   B. 0,875N₀.                

C. 0,75N₀.                   D. 0,125N₀.

Hướng dẫn

$\mathrm{\Delta }N=N_0\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)=N_0\left(1-2^{-2}\right)=0,75N_0$

Chọn C.

Ví dụ 3: Ban đầu có một lượng chất phóng xạ nguyên chất của nguyên tố X, có chu kì bán rã là T. Sau thời gian t = 3T, tỉ số giữa số hạt nhân chất phóng xạ X phân rã thành hạt nhân khác và số hạt nhân còn lại của chất phóng xạ X bằng

A. 8.                            B. 7.                           

C. 1/7.                         D. 1/8.

Hướng dẫn

$\frac{\mathrm{\Delta }N}{N}=\frac{N_0\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)}{N_0{2}^{-\frac{t}{T}}}=2^{\frac{t}{T}}-1=7$

 Chọn B

Ví dụ 4: (QG − 2015) Đồng vị phóng xạ ${}_{84}^{210}Po$ phân rã α, biến đối thành đồng vị ${}_{84}^{210}Po$ với chu kì bán rã là 138 ngày. Ban đầu có một mẫu 2g°Po tinh khiết. Đến thời điểm t, tổng số hạt α và số hạt nhân ${}_{82}^{206}Pb$  (được tạo ra) gấp 14 lần số hạt nhân ${}_{84}^{210}Po$  còn lại. Giá trị của t bằng

A. 552 ngày.               B. 414 ngày.               

C. 828 ngày.               D. 276 ngày. 

Hướng dẫn

Số hạt Po còn lại: $N=N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}.$

Số hạt α tạo thành bầne số hạt Pb tạo thành và bằng số hạt Po bị phản rã:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }N=N_0-N=N_0\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)\\ \iff 14=\frac{2\mathrm{\Delta }N}{N}=\frac{2N_0\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)}{N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}}=2\left(e^{-\frac{\ln 2}{T}t}-1\right)\\ \Rightarrow 14=2\left(e^{-\frac{\ln 2}{T}t}-1\right)\Rightarrow t=414day\end{array}$

Chọn B.

Ví dụ 5: Đồng vị ${}_{92}^{238}U$ là chất phóng xạ với chu kì bán rã là 4,5 (tỉ năm). Ban đầu khối lượng của Uran nguyên chất là 1 (g). Cho biết số Avôgađro là 6,02.10²³. Tính số nguyên tử bị phân rã trong thời gian 1 (năm).

A. 38.10¹⁰.                  B. 39.10¹⁰.                 

C. 37.10¹⁰.                  D. 36.10¹⁰.

Hướng dẫn

$\mathrm{\Delta }N=N_0\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)\approx \frac{m_0}{2,38}{N}_A.\frac{\ln 2}{T}t\approx {39.10}^{10}$

 Chọn B

Ví dụ 6: Một gam chất phóng xạ trong 1 giây có 4,2.10¹³ hạt bị phân rã. Khối lượng nguyên tử của chất phóng xạ 58,933u; lu = 1,66.10⁻²⁷ kg. Tính chu kì bán rã của chất phóng xạ

A. l,5.10⁸(s).                B.1,6.10⁸ (s).              

C. l,8.10⁸(s).                D. 1,7.10⁸(s).

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }N=N_0\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)\approx N_0.\frac{\ln 2}{T}t\\ \Rightarrow 4,{2.10}^{23}=\frac{{10}^{-3}\left(kg\right)}{58,933.1,{66.10}^{-27}\left(kg\right)}.\frac{\ln 2}{T}.1\left(s\right)\\ \Rightarrow T\approx 1,{7.10}^8\left(s\right)\end{array}$

 Chọn D.

Ví dụ 7: Một hỗn hợp phóng xạ có hai chất phóng xạ X và Y. Biết chu kì bán rã của X và Y lần lượt là T₁ = 1 h và T₂ = 2 h và lúc đầu số hạt X bằng số hạt Y. Tính khoảng thời gian để số hạt nguyên chất của hỗn hợp chỉ còn một nửa số hạt lúc đầu.

A. 0,69 h.                    B. 1,5 h.                                 

C. 1,42 h.                    D. 1,39 h.

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}{N}_X+N_T=\frac{2N_0}{2}\\ \iff N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}+N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}=N_0\\ \Rightarrow e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\approx 0,618\Rightarrow t\approx 1,39\left(h\right)\end{array}$

 Chọn D.

Ví dụ 8: Một đồng vị phóng xạ A lúc đầu có 2,86.10²⁶ hạt nhân. Trong giờ đầu tiên có 2,29.10²⁵ bị phân rã. Chu kỳ bán rã đồng vị A là

A. 8 giờ 18 phút.                     B.  8 giờ.        

C. 8 giờ 30 phút.                     D. 8 giờ 15 phút.

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }N=N_0\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)\\ \Rightarrow 2,{29.10}^{25}=2,{86.10}^{26}\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)\\ \Rightarrow T\approx 3h{18}^{\prime }\end{array}$

 Chọn A.

Ví dụ 9: Một mẫu chất chứa hai chất phóng xạ A và B với chu kì bán rã lần lượt là T_A = 0,2 (h) và T_B. Ban đầu số nguyên tử A gấp bốn lần số nguyên tử B, sau 2 h số nguyên tử của A và B bằng nhau. Tính T_B.

A. 0,25 h.                                B. 0,4 h.                                 

C. 0,1 h.                                  D. 2,5 h.

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{N}_A=N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ N_B=N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\end{array}\\ t=2h,N_A=N_B\iff 4e^{-\frac{\ln 2}{T}2}=e^{-\frac{\ln 2}{T}2}\\ \Rightarrow T_B=0,25\left(h\right)\end{array}$

 Chọn A.

Ví dụ 10: Một mẫu radon ${}_{86}^{222}Rn$  chứa 10¹⁰ nguyên tử. Chu kì bán rã của radon là 3,8 ngày. Sau bao lâu thì số nguyên tử trong mẫu radon còn lại 10⁵ nguyên tử.

A. 63,1 ngày.              B. 3,8 ngày.                

C. 38 ngày.                 D. 82,6 ngày.

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}N=N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ \Rightarrow {10}^5={10}^{10}{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ \Rightarrow t\approx 63,1ngay\end{array}$

 Chọn A.

Ví dụ 11: Có hai mẫu chất phóng xạ A và B thuộc cùng một chất có chu kỳ bán rã T = 138,2 ngày và có khối lượng ban đầu như nhau. Tại thời điểm quan sát, tỉ số số hạt nhân hai mẫu chất N_B/N_A = 2,72. Tuổi của mẫu A nhiều hơn mẫu B là

A. 199,8 ngày.                        B. 199,5 ngày.                        

C. 190,4 ngày.                        D. 189,8 ngày.

Hướng dẫn

$2,72=\frac{N_B}{N_A}=\frac{N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}{t}_A}}{N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}{t}_B}}=e^{-\frac{\ln 2}{T}\left(t_A-t_B\right)}\approx 199,5$  (ngày)  

Chọn B.

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Hướng dẫn các bài toán liên quan đến vận dụng Định luật phóng xạ môn Vật lý 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• 20 câu hỏi trắc nghiệm về năng lượng của vật DĐĐH môn Vật lý 12 năm 2020

• Rèn luyện kỹ năng lập phương trình Dao động điều hòa Vật lý 12

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !