Bài 1 trang 7 SGK Toán 12 nâng cao
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Hàm số y=2x3 + 3x2 + 1 xác định trên R.
Ta có: y' = x2 + 6x = 6x(x + 1)
y' = 0 => x = 0 hoặc x = -1
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Câu b:
y = x3 - 2x2 + x + 1
TXĐ: D = R
Đạo hàm: y' = 3x2 - 4x + 1
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Câu c:
TXĐ: D = R \ {0}
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Câu d:
TXĐ: D = R \ {0}
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Câu e:
TXĐ: D = R
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
Câu f:
Hàm số xác định khi và chỉ khi
TXĐ: D = [-2; 2]
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoàng (-2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Bài 2 trang 7 SGK Toán 12 nâng cao
Chứng minh rằng:
a) Hàm số
b) Hàm số
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Tập xác định D = R \ {-2}
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Câu b:
Tập xác định D = R \ {-1}
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
Bài 3 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao
Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R
a)
b)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Tập xác định D = R
Hàm số đồng biến trên R
Câu b:
Tập xác định D = R
Vì
Với x = 0 thì 1 + sin x = 1 > 0 nên f'(x) > 0
Bài 4 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao
Với các giá trị nào của a, hàm số
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R
- Nếu a < 0 thì y' < 0 với mọi
-Nếu a = 0 thì
Vậy hàm số nghịch biến trên R
- Nếu a > 0 thì
Bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên R
Vậy hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
Bài 5 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao
Tìm các giá trị của tham số a để hàm số
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi
Vậy
Bài 6 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
Hướng dẫn giải:
Câu a:
TXĐ: D = R
Dấu "=" xảy ra khi x = 2
Vậy hàm số đồng biến trên R
Câu b:
TXĐ: D = R
Dấu "=" xảy ra khi x = 3/2.
Vậy hàm số nghịch biến trên R
Câu c:
TXĐ: D = R \ {5}
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Câu d:
Hàm số xác định khi và chỉ khi
TXĐ: D = [0; 2]
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2)
Câu e:
TXĐ: D = R (vì
y' = 0 <=> x = 1
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu f:
TXĐ: D = R \ {-1}
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
Bài 7 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao
Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R
Hướng dẫn giải:
TXĐ: D = R
Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn
Do đó hàm số nghịch biến trên R
Bài 8 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0
b)
c)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Hàm số f(x) = x - sinx liên tục trên nửa khoảng
Do đó hàm số đồng biến trên
Với
Vậy sinx < x với mọi x > 0
* Với mọi x < 0, áp dụng chứng minh trên ta có:
sin(-x) < -x => -sinx < -x => sinx > x
Vậy sinx > x với mọi x < 0
Câu b:
Hàm số
Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên
g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0, tức là
Với mọi x < 0 nên theo (1) ta có:
Từ (1) và (2) suy ra
Câu c:
Hàm số
Do đó h đồng biến trên R nên ta có:
Từ đó suy ra:
Bài 9 trang 9 SGK Toán 12 nâng cao
Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi
Hướng dẫn giải:
Hàm số f(x) = sin x + tan x – 2x liên tục trên nửa khoảng
Vì
(vì
Do đó f'(x) > 0 với mọi
Suy ra hàm số f đồng biến trên
Khi đó ta có f(x) > f(0) = 0 với mọi
Bài 10 trang 9 SGK Toán 12 nâng cao
Số dân của một thị trấn t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức
a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1908 và đầu năm 1995
b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng
c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)
- Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
- Vào năm nào thì tốc độ tăng dần số là 0,125 nghìn /người?
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Vào năm 1980 thì t = 10, số dân của thị trấn năm 1980 là:
Vào năm 1995 thì t = 25, số dân của thị trấn năm 1995 là:
Câu b:
Ta có
Hàm số đồng biến trên
Câu c:
Tốc độ tăng tăng dân số vào năm 1990 là
Tốc độ tăng dân số vào năm 2008 là
Vào năm 1996 tốc độ tăng dân số của thị trấn là 0,125
Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1 Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!
Thảo luận về Bài viết