Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\\
b)\,y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\\
c)y = x + \frac{3}{x}\\
d)y = x - \frac{2}{x}\\
e)y = {x^4} - 2{x^2} - 5\\
f)y = \sqrt {4 - {x^2}} 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số y=2x3 + 3x2 + 1 xác định trên R.

Ta có: y' = x2 + 6x = 6x(x + 1)

y' = 0 => x = 0 hoặc x = -1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\); nghịch biến trên (-1; 0)

Câu b:

y = x3 - 2x2 + x + 1

TXĐ: D = R

Đạo hàm: y' = 3x2 - 4x + 1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\); nghịch biến trên  \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\)

Câu c:

TXĐ: D = R \ {0}

\(\begin{array}{l}
y' = 1 - \frac{3}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
x =  - \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\left( {0;\sqrt 3 } \right)\)

Câu d:

TXĐ: D = R \ {0}

\(y' = 1 + \frac{2}{{{x^2}}} > 0,\forall x \ne 0\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Câu e:

TXĐ: D = R

\(\begin{array}{l}
y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 4} \right)\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  \pm 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0; 1); đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Câu f:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2\)

TXĐ: D = [-2; 2]

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\
y' = 0 \Leftrightarrow x = 0
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoàng (-2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2)

---

Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Tập xác định D = R \ {-2}

\(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 2\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {-2; + \infty } \right)\)

Câu b:

Tập xác định D = R \ {-1}

\(y' = \frac{{\left( { - 2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne  - 1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

---

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R

a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4\)

b) \(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Tập xác định D = R

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 17 > 0\) với mọi \(x \in R\) (Vì \(a > 0,\Delta ' < 0\))

Hàm số đồng biến trên R

Câu b:

Tập xác định D = R

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 1 + \sin x\)

Vì \(1 + \sin x \ge 0\) và \(3{x^2} \ge 0\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R\)

Với x = 0 thì 1 + sin x = 1 > 0 nên f'(x) > 0 \(\forall x \in R\) do đó hàm số đồng biến trên R

---

Với các giá trị nào của a, hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên R

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R

\(y' = a - {3x^2}\)

- Nếu a < 0 thì y' < 0 với mọi \(x \in R\), khi đó hàm số nghịch biến trên R

-Nếu a = 0 thì \(y' =  - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\), y' = 0 <=> x = 0

Vậy hàm số nghịch biến trên R

- Nếu a > 0 thì \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{a}{3}} \)

Bảng biến thiên

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên R

Vậy hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi \(a \le 0\)

---

Tìm các giá trị của tham số a để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên R

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R

\(f'(x) = {x^2} + 2ax + 4\)

\(\Delta  = {a^2} - 4\)

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi \(f'(x) \ge 0,\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 > 0\\
\Delta ' \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 > 0\\
{a^2} - 4 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le a \le 2\)

Vậy \( - 2 \le a \le 2\) thỏa mãn ycbt

---

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\\
b)y =  - \frac{4}{3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - \frac{2}{3}\\
c)y = \frac{{{x^2} - 8x + 9}}{{x - 5}}\\
d)y = \sqrt {2x - {x^2}} \\
e)y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \\
f)y = \frac{1}{{x + 1}} - 2x
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0,\forall x \in R\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 2

Vậy hàm số đồng biến trên R

Câu b:

TXĐ: D = R

\(\begin{array}{l}
y' =  - 4{x^2} + 12x - 9 =  - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\\
 =  - {\left( {2x - 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in R
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 3/2.

Vậy hàm số nghịch biến trên R

Câu c:

TXĐ: D = R \ {5}

\(y' = \frac{{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 10x + 31}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 5\)

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\)

Câu d:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\)

TXĐ: D = [0; 2]

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\
y' = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Câu e:

TXĐ: D = R (vì \({x^2} - 2x + 3 > 0,\forall x \in R\))

\(y' = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\)

y' = 0 <=> x = 1

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Câu f:

TXĐ: D = R \ {-1}

\(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\forall x \ne  - 1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {- 1; + \infty } \right)\)

---

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R

Hướng dẫn giải:

TXĐ: D = R

\(f'(x) =  - 2\sin 2x - 2 \le 0 \Leftrightarrow  - 2\left( {\sin 2x + 1} \right) \le 0,\forall x \in R\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + k\pi  + \pi } \right]\)

Do đó hàm số nghịch biến trên R

---

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0

b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x \ne 0\)

c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0, \(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số f(x) = x - sinx liên tục trên nửa khoảng \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm f'(x) = 1 - cosx > 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(f(x) > f(0) = 0 \Rightarrow x - \sin x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Với \(x \ge \frac{\pi }{2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\)

Vậy sinx < x với mọi x > 0

* Với mọi x < 0, áp dụng chứng minh trên ta có:

sin(-x) < -x => -sinx < -x => sinx > x

Vậy sinx > x với mọi x < 0

Câu b:

Hàm số \(g(x) = \cos x + \frac{{{x^2}}}{{2 - x}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm g'(x) = x - sinx

Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có:

g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0, tức là \(\cos x + \frac{{{x^2}}}{2} - 1 > 0\) với mọi x > 0 hay \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x > 0 (1)

Với mọi x < 0 nên theo (1) ta có:

\(\cos ( - x) > 1 - \frac{{{{( - x)}^2}}}{2} \Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x

Từ (1) và (2) suy ra \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi  \(x \ne 0\)

Câu c:

Hàm số \(h(x) = \sin x - x + \frac{{{x^3}}}{6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + \frac{{{x^2}}}{2} > 0\) với mọi x khác 0 (câu b)

Do đó h đồng biến trên R nên ta có:

\(h(x) > h(0) = 0,\forall x > 0\) và \(h(x) < h(0) = 0,\forall x < 0\)

Từ đó suy ra: \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0

\(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0

---

Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) = sin x + tan x – 2x liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm  

\(f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2\)

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên 0 < cosx < 1 => cos x > cos² x

\( \Rightarrow \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2 > {\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2 > 0\)

(vì \({\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 2\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó f'(x) > 0  với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Suy ra hàm số f đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Khi đó ta có f(x) > f(0) = 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) tức là sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

---

Số dân của một thị trấn t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1908 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Tính f’(t) và xét chiều biến thiến của h trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dần số là 0,125 nghìn /người?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vào năm 1980 thì t = 10, số dân của thị trấn năm 1980 là:

\(f(10) = \frac{{260 + 10}}{{10 + 5}} = 18\) nghìn người

Vào năm 1995 thì t = 25, số dân của thị trấn năm 1995 là:

\(f(25) = \frac{{26.25 + 10}}{{25 + 5}} = 22\) nghìn người

Câu b:

Ta có \(f'(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} > 0\) với mọi t > 0

Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

Câu c:

Tốc độ tăng tăng dân số vào năm 1990 là \(f'(20) = \frac{{120}}{{{{25}^2}}} = 0,192\)

Tốc độ tăng dân số vào năm 2008 là \(f'(38) = \frac{{120}}{{{{43}^2}}} \approx 0,065\)

\(\frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} = 0,125 \Leftrightarrow t + 5 = \sqrt {\frac{{120}}{{0,125}}}  \approx 31 \Rightarrow t \approx 26\)

Vào năm 1996 tốc độ tăng dân số của thị trấn là 0,125

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1 Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!