Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1 trang 7 SGK Toán 12 nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a)y=2x3+3x2+1b)y=x32x2+x+1c)y=x+3xd)y=x2xe)y=x42x25f)y=4x2

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số y=2x3 + 3x2 + 1 xác định trên R.

Ta có: y' = x2 + 6x = 6x(x + 1)

y' = 0 => x = 0 hoặc x = -1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;1) và (0;+); nghịch biến trên (-1; 0)

Câu b:

y = x3 - 2x2 + x + 1

TXĐ: D = R

Đạo hàm: y' = 3x2 - 4x + 1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;13) và (1;+); nghịch biến trên  (13;1)

Câu c:

TXĐ: D = R \ {0}

y=13x2=x23x2y=0[x=3x=3

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;3) và (3;+); nghịch biến trên khoảng (3;0) và (0;3)

Câu d:

TXĐ: D = R \ {0}

y=1+2x2>0,x0

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;0) và (0;+)

Câu e:

TXĐ: D = R

y=4x34x=4x(x24)y=0[x=0x=±1

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (;1) và (0; 1); đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1;+)

Câu f:

Hàm số xác định khi và chỉ khi 4x202x2

TXĐ: D = [-2; 2]

y=2x24x2=x4x2y=0x=0

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoàng (-2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2)


Bài 2 trang 7 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Hàm số y=x2x+2 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số y=x22x+3x+1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Tập xác định D = R \ {-2}

y=4(x+2)2>0,x2

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;2) và (2;+)

Câu b:

Tập xác định D = R \ {-1}

y=(2x2)(x+1)(x22x+3)(x+1)2=x22x5(x+1)2<0,x1

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (;1) và (1;+)


Bài 3 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R

a) f(x)=x36x2+17x+4

b) f(x)=x3+xcosx4

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Tập xác định D = R

f(x)=3x212x+17>0 với mọi xR (Vì a>0,Δ<0)

Hàm số đồng biến trên R

Câu b:

Tập xác định D = R

f(x)=3x2+1+sinx

Vì 1+sinx0 và 3x20 nên f(x)0,xR

Với x = 0 thì 1 + sin x = 1 > 0 nên f'(x) > 0 xR do đó hàm số đồng biến trên R


Bài 4 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao

Với các giá trị nào của a, hàm số y=axx3 nghịch biến trên R

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R

y=a3x2

- Nếu a < 0 thì y' < 0 với mọi xR, khi đó hàm số nghịch biến trên R

-Nếu a = 0 thì y=3x20 với mọi xR, y' = 0 <=> x = 0

Vậy hàm số nghịch biến trên R

- Nếu a > 0 thì y=0x=±a3

Bảng biến thiên

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên R

Vậy hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi a0


Bài 5 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao

Tìm các giá trị của tham số a để hàm số f(x)=13x3+ax2+4x+3 đồng biến trên R

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R

f(x)=x2+2ax+4

Δ=a24

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi f(x)0,xR

{1>0Δ0{1>0a2402a2

Vậy 2a2 thỏa mãn ycbt


Bài 6 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a)y=13x32x2+4x5b)y=43x3+6x29x23c)y=x28x+9x5d)y=2xx2e)y=x22x+3f)y=1x+12x

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

y=x24x+4=(x2)20,xR

Dấu "=" xảy ra khi x = 2

Vậy hàm số đồng biến trên R

Câu b:

TXĐ: D = R

y=4x2+12x9=(4x212x+9)=(2x3)20,xR

Dấu "=" xảy ra khi x = 3/2.

Vậy hàm số nghịch biến trên R

Câu c:

TXĐ: D = R \ {5}

y=(2x8)(x5)(x28x+9)(x5)2=x210x+31(x5)2>0 với mọi x5

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;5) và (5;+)

Câu d:

Hàm số xác định khi và chỉ khi 2xx200x2

TXĐ: D = [0; 2]

y=22x22xx2=1x2xx2y=0x=1

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Câu e:

TXĐ: D = R (vì x22x+3>0,xR)

y=22x2x22x+3=x1x22x+3

y' = 0 <=> x = 1

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng (;1) và đồng biến trên khoảng (1;+)

Câu f:

TXĐ: D = R \ {-1}

y=1(x+1)22<0,x1

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (;1) và (1;+)


Bài 7 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R

Hướng dẫn giải:

TXĐ: D = R

f(x)=2sin2x202(sin2x+1)0,xR

f(x)=0sin2x=12x=π2+k2π,kZx=π4+kπ,kZ

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn [π4+kπ;π4+kπ+π]

Do đó hàm số nghịch biến trên R


Bài 8 trang 8 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0

b) cosx>1x22 với mọi x0

c) sinx>xx36 với mọi x > 0, sinx<xx36 với mọi x < 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số f(x) = x - sinx liên tục trên nửa khoảng x[0;π2) và có đạo hàm f'(x) = 1 - cosx > 0 với mọi x(0;π2).

Do đó hàm số đồng biến trên x[0;π2), từ đó với mọi x(0;π2) ta có:

f(x)>f(0)=0xsinx>0,x(0;π2)

Với xπ2 thì x>1sinx

Vậy sinx < x với mọi x > 0

* Với mọi x < 0, áp dụng chứng minh trên ta có:

sin(-x) < -x => -sinx < -x => sinx > x

Vậy sinx > x với mọi x < 0

Câu b:

Hàm số g(x)=cosx+x22x liên tục trên [0;+) và có đạo hàm g'(x) = x - sinx

Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên [0;+), khi đó ta có:

g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0, tức là cosx+x221>0 với mọi x > 0 hay cosx>1x22 với mọi x > 0 (1)

Với mọi x < 0 nên theo (1) ta có:

cos(x)>1(x)22cosx>1x22 với mọi x

Từ (1) và (2) suy ra cosx>1x22 với mọi  x0

Câu c:

Hàm số h(x)=sinxx+x36 có đạo hàm h(x)=cosx1+x22>0 với mọi x khác 0 (câu b)

Do đó h đồng biến trên R nên ta có:

h(x)>h(0)=0,x>0 và h(x)<h(0)=0,x<0

Từ đó suy ra: sinx>xx36 với mọi x > 0

sinx<xx36 với mọi x < 0


Bài 9 trang 9 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi x(0;π2)

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) = sin x + tan x – 2x liên tục trên nửa khoảng [0;π2) và có đạo hàm  

f(x)=cosx+1cos2x2

Vì x(0;π2) nên 0 < cosx < 1 => cos x > cos2 x

cosx+1cos2x2>cos2x+1cos2x2>0

(vì cos2x+1cos2x>2 với mọi x(0;π2)

Do đó f'(x) > 0  với mọi x(0;π2)

Suy ra hàm số f đồng biến trên [0;π2)

Khi đó ta có f(x) > f(0) = 0 với mọi x(0;π2) tức là sinx + tanx > 2x với mọi x(0;π2)


Bài 10 trang 9 SGK Toán 12 nâng cao

Số dân của một thị trấn t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức f(t)=26t+10t+5 (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1908 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0;+). Tính f’(t) và xét chiều biến thiến của h trên nửa khoảng [0;+)

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

  • Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
  • Vào năm nào thì tốc độ tăng dần số là 0,125 nghìn /người?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vào năm 1980 thì t = 10, số dân của thị trấn năm 1980 là:

f(10)=260+1010+5=18 nghìn người

Vào năm 1995 thì t = 25, số dân của thị trấn năm 1995 là:

f(25)=26.25+1025+5=22 nghìn người

Câu b:

Ta có f(t)=120(t+5)2>0 với mọi t > 0

Hàm số đồng biến trên [0;+)

Câu c:

Tốc độ tăng tăng dân số vào năm 1990 là f(20)=120252=0,192

Tốc độ tăng dân số vào năm 2008 là f(38)=1204320,065

120(t+5)2=0,125t+5=1200,12531t26

Vào năm 1996 tốc độ tăng dân số của thị trấn là 0,125

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1 Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?