Giải Toán 11 SGK nâng cao Ôn tập Chương 3 Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Chứng minh rằng:

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}{{12}}\)    (1)

Với mọi số nguyên n ≥ 2.

Hướng dẫn giải:

• Với n = 2 ta có:

\({1.2^2} = \frac{{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)}}{{12}} = 4\)

Vậy (1) đúng với n = 2.

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}}\)  

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1

\(\begin{array}{l}
{1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k{\left( {k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]}}{{12}}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)}}{{12}}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left[ {3k\left( {k + 2} \right) + 5\left( {k + 2} \right)} \right]}}{{12}}\\
 = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]}}{{12}}
\end{array}\)

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với n = k+1

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ≥ 2.

---

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 2 và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng:

\({u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Hướng dẫn giải:

• Với n = 1, theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = \frac{{{2^{1 - 1}} + 1}}{{{2^{1 - 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi n = 1.
• Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N^∗ tức là:

\({u_k} = \frac{{{2^{k- 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\) 

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có:

\({u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Nghĩa là (1) đúng với n = k+1.

Vậy (1) đúng với mọi n ∈ N^∗.

---

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với  un=n2+1n+1 và \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) và \({v_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}\)

a. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n) với a_n = u_n + v_n

b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (b_n) với bn = u_n – v_n

c. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (c_n) với c_n = u_n.v_n

d. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (d_n) với \({d_n} = \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

Chú ý

Các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (u_n + v_n), (u_n – v_n), (u_n.v_n), \(\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \({a_n} = {u_n} + {v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}} + \frac{{2n}}{{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1}} = n + 1\)

Câu b:

Ta có \({b_n} = {u_n} - {v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}} - \frac{{2n}}{{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{n + 1}}\)

Câu c:

Ta có \({c_n} = {u_n}{v_n} = \frac{{2n\left( {{n^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

Câu d:

Ta có \({d_n} = \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n}}\)

---

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a. Dãy số (u_n) với u_n = 8n + 3

b. Dãy số (u_n) với  u_n = n²+n+1

c.  Dãy số (u_n) với  un = 3.8ⁿ

d. Dãy số (u_n) với  u_n = (n+2).3ⁿ

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có u_n+1 − u_n = 8(n+1)+3−(8n+3)=8, ∀n ≥ 1

Suy ra (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 8.

Câu b:

Ta có u_n+1 − u_n = (n+1)²+(n+1)+1− n²−n−1 = 2(n+1) không là hằng số.

Vậy (u­_n) không là cấp số cộng.

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + n + 1}}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số nhân.

Câu c:

Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{3.8}^{n + 1}}}}{{{{3.8}^n}}} = 8,\forall n \ge 1\). Do đó (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 8.

Câu d:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 3} \right){.3^{n + 1}} - \left( {n + 2} \right){.3^n} = {3^n}.\left( {3n + 9 - n - 2} \right) = {3^n}.\left( {2n + 7} \right)\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số cộng.

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n + 3} \right){{.3}^{n + 1}}}}{{\left( {n + 2} \right){{.3}^n}}} = \frac{{3n + 9}}{{n + 2}}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số nhân.

---

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+5 với mọi n ≥ 1

là một cấp số cộng.

b. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+n với mọi n ≥ 1,

là một cấp số cộng.

c. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 4 và u_n+1 = 5u_n với mọi n ≥ 1,

là một cấp số nhân.

d. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và u_n+1 = nu_n với mọi n ≥ 1

là một cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đúng, vì u_n+1−u_n = 5, ∀n ≥ 1

Câu b:

Sai, vì u_n+1−u_n = n không là hằng số

Câu c:

Đúng, vì u_n+1 − u_n = 5 là hằng số

Câu d:

Sai, vì u_n+1 − u_n = n không là hằng số.

---

Cho dãy hình vuông H₁, H₂, …, H_n,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi un, pn và Sn lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông Hn.

a. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

b. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta c :

p_n =  4u_n và \(S_n=u_n^2\) với mọi n ∈ N^∗

Câu a:

Gọi d là công sai của cấp số cộng (u_n), d ≠ 0. Khi đó với mọi n ∈ N^∗, ta có:

p_n+1−p_n = 4(u_n+1−u_n) = 4d (không đổi)

Vậy (p_n) là cấp số cộng.

S_n+1−S_n = (u_n+1−u_n)(u_n+1+u_n) = d.(u_n+1+u_n) không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (S_n) không là cấp số cộng.

Câu b:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), q > 0. Khi đó với mọi n ∈ N^∗, ta có:

\(\frac{{{p_{n + 1}}}}{{{p_n}}} = \frac{{4{u_{n + 1}}}}{{4{u_n}}} = q\) (không đổi)

\(\frac{{{S_{n + 1}}}}{{{S_n}}} = \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2}} = {q^2}\) (không đổi)

Từ đó suy ra các dãy số (p_n) và (S_n) là cấp số nhân.

---

Cho dãy số (un) xác định bởi:

u₁ = 3 và \({u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh u_n = 3  (1) với mọi n bằng qui nạp

• Với n = 1 ta có u₁ = 3 ⇒ (1) đúng
• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là u_k = 3
• Ta chứng minh u_k+1 = 3

Thật vậy, ta có: \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6}  = \sqrt {3 + 6}  = 3\)

Vậy u_n = 3, ∀n ≥ 1 do đó (u_n) vừa là cấp số cộng công sai d = 0 vừa là cấp số nhân công bội q = 1.

---

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở Cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở Cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u_n và v_n tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.

a. Hãy tính u₂, u₃, v₂, v₃.

b. Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng và dãy số (v_n) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?

d. Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{u_2} = {u_1} + 500 = 8000 + 500 = 8500\\
{u_3} = {u_2} + 500 = 8500 + 500 = 9000\\
{v_2} = {v_1} + {v_1}.0,07 = {v_1}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_1}.1,07 = 6000.1,07 = 6420\\
{v_3} = {v_2} + {v_2}.0,07 = {v_2}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_2}.1,07 = 6420.1,07 = 6869,4
\end{array}\)

Câu b:

Theo giả thiết của bài toán, ta có:

u₁ = 8000 và u_n+1 = u_n + 500 với mọi n ≥ 1    (1)

v₁ = 6000 và v_n+1 = v_n+v_n.0,07 = v_n(1+0,07) = v_n.1,07 với mọi n ≥ 1     (2)

Từ (1) suy ra (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 500 và số hạng đầu u₁ = 8000.

Số hạng tổng quát: u_n = 8000+(n–1).500 = 7500+500n

Từ (2) suy ra (v_n) là một cấp số nhân với công bội q = 1,07 và số hạng đầu v₁ = 6000.

Số hạng tổng quát: v_n = 6000.(1,07)ⁿ⁻¹

Câu c:

Kí hiệu A₂₀ và B₂₀ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B. Từ kết quả phần b, ta có:

A₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n). Do đó:

\({A_{20}} = \frac{{20.\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} \right) = 255000\)

B₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (v_n). Do đó:

\({B_{20}} = {v_1}.\frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 6000.\frac{{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{20}}}}{{1 - 1,07}} = 245972,9539\)

Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thuê cơ sở B.

Câu d:

Kí hiệu A₂₅ và B₂₅ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.

\(\begin{array}{l}
{A_{25}} = \frac{{25\left( {2{u_1} + 24d} \right)}}{2} = 12,5.\left( {2.8000 + 24.500} \right) = 350000\\
{B_{25}} = {v_1}.\frac{{1 - {q^{25}}}}{{1 - q}} = 6000.\frac{{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{25}}}}{{1 - 1,07}} = 379494,2263
\end{array}\)

Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Ôn tập Chương 3 Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.