Bài 15 trang 109 SGK Toán 11 nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 3 và un+1 = un+5 với mọi n ≥ 1.
a. Hãy tính u2, u4 và u6.
b. Chứng minh rằng un = 5n–2 với mọi n ≥ 1.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
u2 = u1+5 = 8
u3 = u2+5 = 13
u4 = u3+5 = 18
u5 = u4+5 = 23
u6 = u5+5 = 28
Câu b:
Ta sẽ chứng minh un = 5n–2 (1) với mọi n ∈ N∗, bằng phương pháp qui nạp.
- Với n = 1, ta có u1 = 3 = 5.1–2
Vậy (1) đúng khi n = 1.
- Giả sử (1) đúng với n = k, k ∈ N∗, tức là uk = 5k−2
- Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1
Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp ta có:
uk+1 = uk+5 = 5k−2+5 = 5(k+1)−2
Do đó (1) đúng với mọi n ∈ N∗.
Bài 16 trang 109 SGK Toán 11 nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 1 và un+1 = un+(n+1).2n với mọi n ≥ 1
a. Chứng minh rằng (un) là một dãy số tăng.
b. Chứng minh rằng un = 1+(n−1).2n với mọi n ≥ 1.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có:
un+1 − un = (n+1).2n > 0, ∀n ≥ 1.
Do đó (un) là một dãy số tăng.
Câu b:
Ta sẽ chứng minh un = 1+(n−1).2n (1) với mọi n ≥ 1, bằng phương pháp qui nạp.
- Với n = 1, ta có u1 = 1 = 1+(1−1).21. Như vậy (1) đúng khi n = 1
- Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N∗, tức là uk = 1+(k−1)2k
- Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1.
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp, ta có:
uk+1 = uk+(k+1).2k = 1+(k−1).2k+(k+1).2k = 1+k.2k+1
Vậy (1) đúng với mọi n ≥ 1.
Bài 17 trang 109 SGK Toán 11 nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 1 và \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{u_n^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 1
Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh un = 1 (1), ∀n ∈ N∗ bằng qui nạp:
- Rõ ràng (1) đúng với n = 1
- Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có uk = 1
- Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1.
Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có:
\({u_{k + 1}} = \frac{2}{{u_k^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\)
Vậy (1) đúng với n = k+1, do đó (1) đúng với mọi n ∈ N∗
Bài 18 trang 109 SGK Toán 11 nâng cao
Cho dãy số (sn) với \({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6}\).
a. Chứng minh rằng sn = sn+3 với mọi n ≥ 1
b. Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Với n > 1 tùy ý, ta có:
\(\begin{array}{l}
{{\mathop{\rm s}\nolimits} _{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{6}\\
= \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]\frac{\pi }{6}\\
= \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\\
= \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} = {s_n}
\end{array}\)
Câu b:
Từ kết quả phần a) ta có:
s1 = s4 = s7 = s10 = s13,
s2 = s5 = s8 = s11 = s14,
s3 = s6 = s9 = s12 = s15.
Từ đó suy ra:
s1 + s2 + s3 = s4 + s5 + s6 = s7 + s8 + s9 = s10 + s11 + s12 = s13 + s14 + s15
Do đó: S15 = s1 + s2 +...+ s15 = 5(s1 + s2 + s3)
Bằng cách tính trực tiếp, ta có s1 = 1, s2 = \( - \frac{1}{2}\) và s3 = \( - \frac{1}{2}\) ⇒ S15 = 0
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Luyện tập (trang 109) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
