BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CẤP SỐ NHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
A. LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.
Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Đặc biệt:
1. Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
2. Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,...,0,...
3. Khi u1 = 0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,.., 0,...
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi \({{u_{n + 1}} = {u_n}.q,\;n \in {N^*}}\) (1)
STUDY TIP
1) Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số không đổi q sao cho \({u_{n + 1}} = {u_n}.q,\;\forall n \ge 1\).
2) Trong trường hợp \({u_n} \ne 0,\forall n \ge 1\) để chứng minh (un) là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ ra tỷ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) là một số không đổi với mọi số nguyên dương n.
3) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tiếp của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.
\( - 3, - 1, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{9}, - \frac{1}{{27}}, - \frac{1}{{81}}.\)
Lời giải
Ta có \(1 = - 2 + 3;\quad \quad \quad \;\; - 1 = - 3.\frac{1}{3};\quad \quad \quad \;\;\; - \frac{1}{3} = - 1.\frac{1}{3};\quad \quad \quad - \frac{1}{9} = - \frac{1}{3}.\frac{1}{3};\)
\( - \frac{1}{{27}} = - \frac{1}{9}.\frac{1}{3};\quad \quad \quad - \frac{1}{{81}} = - \frac{1}{{27}}.\frac{1}{3}.\quad \quad \quad \)
Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số \( - 3, - 1, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{9}, - \frac{1}{{27}}, - \frac{1}{{81}}.\) là một cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\).
Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
a) Dãy số (xn), với \({x_n} = {n^2};\) b) Dãy số (yn), với \({y_n} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2n - 3}};\)
c) Dãy số (zn), với \({z_n} = \frac{2}{n};\) d) Dãy số (wn), với \({w_n} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{3^{n + 1}}}}.\)
Lời giải
a) Cách 1: Ba số hạng đầu của dãy số (xn) là 1, 4, 9. Vì \(4 = 1.4;9 \ne 4.4\) nên dãy số (xn) không phải là cấp số nhân.
Cách 2: Ta có \({x_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2}\) nên \(\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}}} = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}\) (phụ thuộc vào n không phải là số không đổi). Do đó, (xn) không phải là cấp số nhân.
b) Ta có \({y_{n + 1}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2(n + 1) - 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2n - 1}}\) nên \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_{_n}}}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5\) (là số không đổi). Do đó, (yn) phải là cấp số nhân với công bội .
c) Ta có \({z_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}}\) nên \(\frac{{{z_{n + 1}}}}{{{z_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}\) (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).
Do đó (zn) không phải là một cấp số nhân.
d) Ba số hạng đầu của dãy số (wn) là \(\frac{4}{9},\frac{{10}}{{27}},\frac{{28}}{{81}}.\) Vì \(\frac{{10}}{{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{6},\frac{{28}}{{81}} \ne \frac{{10}}{{27}} \cdot \frac{5}{6}\) nên dãy số (wn) không phải là cấp số nhân.
{-- xem toàn bộ nội dung Bài tập trắc nghiệm Cấp số nhân năm học 2019 - 2020 có đáp án ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài tập trắc nghiệm Cấp số nhân năm học 2019 - 2020 có đáp án. Để xem toàn bộ nội dung tài liệu các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 11 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong các kì thi sắp tới.
