BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ CẤP SỐ CỘNG CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
1) Nếu (un) là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi
\({u_{n + 1}} = {u_n} + d,\;n \in {N^*}.\) (1)
2) Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.
3) Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.
STUDY TIP
Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh \({u_{n + 1}} - {u_n}\) là một hằng số với mọi số nguyên dương .
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:
\( - 2,\;1,\;4,\;7,\;10,\;13,\;16,\;19\).
Lời giải
Vì \(1 = - 2 + 3;\quad \quad \quad \;\;4 = 1 + 3;\quad \quad \quad \;\;\;7 = 4 + 3;\quad \quad \quad 10 = 7 + 3;\)
\(13 = 10 + 3;\quad \quad \quad 16 = 13 + 3;\quad \quad \quad 19 = 16 + 3.\)
Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số \( - 2,\;1,\;4,\;7,\;10,\;13,\;16,\;19\) là một cấp số cộng với công sai d = 3.
Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
a) Dãy số (an), với \({a_n} = 4n - 3\); b) Dãy số (bn), với \({b_n} = \frac{{2 - 3n}}{4}\);
c) Dãy số (cn), với \({c_n} = {2018^n}\); d) Dãy số (dn), với \({d_n} = {n^2}\).
Lời giải
a) Ta có \({a_{n + 1}} = 4(n + 1) - 3 = 4n + 1\) nên \({a_{n + 1}} - {a_n} = (4n + 1) - (4n - 3) = 4,\;\forall n \ge 1.\)
Do đó (an) là cấp số cộng với số hạng đầu \({a_1} = 4.1 - 3 = 1\) và công sai d = 4.
b) Ta có \({b_{n + 1}} = \frac{{2 - 3(n + 1)}}{4} = \frac{{ - 1 - 3n}}{4}\) nên \({b_{n + 1}} - {b_n} = \frac{{ - 1 - 3n}}{4} - \frac{{2 - 3n}}{4} = - \frac{3}{4},\;\forall n \ge 1\)
Suy ra (bn) là cấp số cộng với số hạng đầu \({b_1} = \frac{{2 - 3.1}}{4} = - \frac{1}{4}\) và công sai \(d = - \frac{3}{4}\).
c) Ta có \({c_{n + 1}} = {2018^{n + 1}}\) nên \({c_{n + 1}} - {c_n} = {2018^{n + 1}} - {2018^n} = {2017.2018^n}\) (phụ thuộc vào giá trị của n). Suy ra (cn) không phải là một cấp số cộng.
d) Ta có \({d_{n + 1}} = {(n + 1)^2}\) nên \({d_{n + 1}} - {d_n} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1\) (phụ thuộc vào giá trị của n).
Suy ra (dn) không phải là một cấp số cộng.
Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un) có 7 số hạng với số hạng đầu \({u_1} = \frac{2}{3}\) và công sai \(d = - \frac{4}{3}\). Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.
Lời giải
Ta có \({u_2} = {u_1} + d = - \frac{2}{3};\quad \quad \quad \;{u_3} = {u_2} + d = - 2;\quad \quad \quad \;{u_4} = {u_3} + d = - \frac{{10}}{3};\)
\({u_5} = {u_4} + d = - \frac{{14}}{3};\quad \quad \quad {u_6} = {u_5} + d = - 6;\quad \quad \quad {u_7} = {u_6} + d = - \frac{{22}}{3};\)
Vậy dạng khai triển của cấp số cộng (un) là \(\frac{2}{3};\; - \frac{2}{3};\; - 2;\; - \frac{{10}}{3};\; - \frac{{14}}{3};\; - 6;\; - \frac{{22}}{3}.\)
{-- xem toàn bộ nội dung Bài tập trắc nghiệm Cấp số cộng năm học 2019 - 2020 có lời giải chi tiết ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài tập trắc nghiệm Cấp số cộng năm học 2019 - 2020 có lời giải chi tiết. Để xem toàn bộ nội dung tài liệu các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 11 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong các kì thi sắp tới.
