Bài 9 trang 105 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:
a. Dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 3}}{n}\)
b. Dãy số (un) với \({u_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{4} + \cos \frac{{2n\pi }}{3}\)
c. Dãy số (un) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{{{{2.1}^2} - 3}}{1} = - 1\\
{u_2} = \frac{{{{2.2}^2} - 3}}{2} = \frac{5}{2}\\
{u_3} = \frac{{{{2.3}^2} - 3}}{3} = 5\\
{u_4} = \frac{{{{2.4}^2} - 3}}{4} = \frac{{29}}{4}\\
{u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 3}}{5} = \frac{{47}}{5}
\end{array}\)
Câu b:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cos \frac{{2\pi }}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\\
{u_2} = {\sin ^2}\frac{\pi }{2} + \cos \frac{{4\pi }}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\
{u_3} = {\sin ^2}\frac{{3\pi }}{4} + \cos 2\pi = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\\
{u_4} = {\sin ^2}\pi + \cos \frac{{8\pi }}{3} = \cos \left( {2\pi + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}\\
{u_5} = {\sin ^2}\frac{{5\pi }}{4} + \cos \frac{{10\pi }}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0
\end{array}\)
Câu c:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sqrt {{4^1}} = - 2\\
{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.\sqrt {{4^2}} = 4\\
{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}.\sqrt {{4^3}} = - 8\\
{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.\sqrt {{4^4}} = 16\\
{u_5} = {\left( { - 1} \right)^5}.\sqrt {{4^5}} = - 32
\end{array}\)
Bài 10 trang 105 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :
a. Dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 0 và \({u_n} = \frac{2}{{u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 2;
b. Dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 1, u2 = −2 và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi n ≥ 3.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = 2\\
{u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{2^2} + 1}} = \frac{2}{5}\\
{u_4} = \frac{2}{{u_3^2 + 1}} = \frac{2}{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{50}}{{29}}\\
{u_5} = \frac{2}{{u_4^2 + 1}} = \frac{2}{{{{\left( {\frac{{50}}{{29}}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{1682}}{{3341}}
\end{array}\)
Câu b:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_3} = {u_2} - 2{u_1} = - 2 - 2.1 = - 4\\
{u_4} = {u_3} - 2{u_2} = - 4 - 2.\left( { - 2} \right) = 0\\
{u_5} = {u_4} - 2{u_3} = 0 - 2.\left( { - 4} \right) = 8
\end{array}\)
Bài 11 trang 106 SGK Toán 11 nâng cao
Cho hình vuông A1B1C1D1 có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A2B2C2D2, A3B3C3D3, …, AnBnCnDn,… theo cách sau: Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm An, Bn, Cn, và Dn tương ứng trên các cạnh An-1Bn-1, Bn-1Cn-1, Cn-1Dn-1và Dn-1An-1 sao cho An-1An = 1cm và AnBnCnDn là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (un) với un là độ dài cạnh của hình vuông AnBnCnDn.
Hãy cho dãy số (un) nói trên bởi hệ thức truy hồi.
Hướng dẫn giải:
Với mỗi n ∈ N∗, xét các hình vuông AnBnCnDn và An+1Bn+1Cn+1Dn+1, ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} + {{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \\
= \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1}
\end{array}\)
Bài 12 trang 106 SGK Toán 11 nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi :
u1 = 1 và un = 2un−1+3 với mọi n ≥ 2.
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có un = 2n+1−3 (1)
Hướng dẫn giải:
- Với n = 1 ta có u1 = 1 = 22−3.
Vậy (1) đúng với n = 1
- Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có uk = 2k+1−3
- Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh uk+1 = 2k+2−3.
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:
uk+1 = 2uk + 3 = 2(2k+1 − 3) + 3 = 2k+2 − 3
Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ∈ N∗.
Bài 13 trang 106 SGK Toán 11 nâng cao
Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :
a. Dãy số (un) với un = n3−3n2+5n−7;
b. Dãy số (xn) với \({x_n} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}\)
c. Dãy số (an) với \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
un+1−un = (n+1)3−3(n+1)2+5(n+1)−7−(n3−3n2+5n−7)
= 3n2−3n+3 > 0,∀n ∈ N∗
⇒ un+1 > un ⇒ (un) là dãy số tăng.
Câu b:
Ta có:
\(\frac{{{x_n}}}{{{x_{n + 1}}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}.\frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 2}} = \frac{{3\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}} = \frac{{3n + 3}}{{n + 2}} > 1,\forall n \in {N^*}\)
⇒ xn > xn+1
⇒ (xn) là dãy số giảm.
Câu c:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\\
\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}} = \frac{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1\\
\Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}}
\end{array}\)
⇒ (an) là dãy số giảm.
Bài 14 trang 106 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} = \frac{{\frac{2}{3}\left( {3n + 2} \right) + \frac{5}{3}}}{{3n + 2}} = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{5}{3}\left( {\frac{1}{{3n + 5}} - \frac{1}{{3n + 2}}} \right) < 0\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}
\end{array}\)
⇒ (un) là dãy số giảm
Ta lại có \(0 < \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} \le 1,\forall n \in {N^*}\)
Vậy (un) là dãy số giảm và bị chặn.
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Bài 2 Dãy số với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
