Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 3 Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :

\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)   (1)

Hướng dẫn giải:

• Với n = 1 ta có \(1 = \frac{{1\left( {1 + 1} \right)}}{2}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1.

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}\)

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là phải chứng minh:

\(1 + 2 + 3 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
1 + 2 + 3 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} + \left( {k + 1} \right)\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2\left( {k + 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.

---

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)

Hướng dẫn giải:

• Với n = 1 ta có \({2^2} = \frac{{2.2.3}}{3}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:  

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3}\)

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
 = \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
 = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{3}\\
 = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]}}{3}\\
 = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n∈N^∗

---

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

Hướng dẫn giải:

• Với n = 1 ta có \(1 < 2\sqrt 1 \).

Vậy (1) đúng với n = 1

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} < 2\sqrt k \)

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: 

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \,\,\,\left( * \right)\)

Theo giả thiết qui nạp ta có:

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k  + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

\(2\sqrt k  + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)

Thật vậy ta có :

\(\begin{array}{l}
2\sqrt k  + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)}  + 1 < 2\left( {k + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)}  < 2k + 1\\
 \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 0 < 1\) (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với n = k+1, do đó (1) đúng.

---

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Hướng dẫn giải:

• Với n = 2 ta có \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) (đúng). Vậy (1) đúng với n = 2
• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\)

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right)\\
 = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{{k^2} + 2k}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{k\left( {k + 2} \right)}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ≥ 2.

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Hướng dẫn giải:

• Với n = 2 ta có \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Như vậy (1) đúng khi n = 2

• Giả sử (1) đúng khi n = k, k > 2, tức là giả sử:

\(\frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}\)

• Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

\(\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} - \frac{1}{{k + 1}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 > \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}
\end{array}\)

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n > 1.

---

Với mỗi số nguyên dương n, đặt u_n  = 7.2²ⁿ⁻²+3²ⁿ⁻¹   (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u_n chia hết cho 5.

Hướng dẫn giải:

• Với n = 1, ta có:

u₁ = 7.2^2.1−2+3^2.1−1 = 7+3 = 10 ⋮ 5

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

• Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N^∗, tức là:

u_k = [7.2^2k−2+3^2k−1] ⋮ 5

• Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k+1.

Thật vậy, ta có:

u_k+1 = 7.2^2(k+1)−2+3^2(k+1)−1 = 4.7.2^2k−2+9.3^2k−1 = 4(7.2^2k−2+3^2k−1)+5.3^2k−1 = 4.u_k+5.3^2k−1

Vì u_k ⋮ 5 (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra u_k+1 chia hết cho 5 ta được điều cần chứng minh.

---

Cho số thực x > −1. Chứng minh rằng:

(1+x)ⁿ ≥ 1+nx   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Hướng dẫn giải:

• Với n = 1, ta có (1+x)¹ = 1+x = 1+1.x

Như vậy, ta có (1) đúng khi n = 1

• Giả sử đã có (1) đúng khi n = k, k ∈ N^∗, tức là (1+x)^k ≥ 1+kx  
• Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k+1.

Thật vậy, từ giả thiết x > − 1 nên (1+x) > 0

Theo giả thiết qui nạp, ta có: (1+x)^k ≥ 1+kx   (2)

Nhân hai vế của (2) với (1+x) ta được:

(1+x)^k+1 ≥ (1+x)(1+kx) = 1+(k+1)x+kx² ≥ 1+(k+1)x

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ∈ N^∗.

---

Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu 8^k+1 chia hết cho 7 thì 8^k+1+1 cũng chia hết cho 7 ” như sau:

Ta có: 8^k+1+1 = 8(8^k+1)−7. Từ đây và giả thiết “8^k+1 chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra 8^k+1+1 chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được “8ⁿ+1 chia hết cho 7 với mọi n ∈ N^∗ ” hay không ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải:

Không thể kết luận “8ⁿ+1 chia hết cho 7 với mọi n ∈ N^∗ ”, vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi n = 1.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.