Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Bài 3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Tìm các giới hạn sau:

$\begin{array}{l}a)\underset{x\to 0}{lim}\frac{tan2x}{sin5x}\\ b)\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-cos2x}{xsin2x}\\ c)\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+sinx-cosx}{1-sinx-cosx}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{lim}\frac{tan2x}{sin5x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin2x}{cos2x.sin5x}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin2x}{2x}.\frac{1}{cos2x.\frac{sin5x}{5x}}.\frac{2}{5}=\frac{2}{5}\end{array}$

Câu b:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-cos2x}{xsin2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{si{n}^{2}x}{2xsinxcosx}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{2xcosx}=\frac{1}{2}$

Câu c:

 $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+sinx-cosx}{1-sinx-cosx}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2si{n}^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2si{n}^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}}=-1\end{array}$

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

$\begin{array}{l}a)y=5\sin x-3\cos x\\ b)y=sin(x^2-3x+2)\\ c)y=cos\sqrt{2x+1}\\ d)y=2sin3xcos5x\\ e)y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\\ f)y=\sqrt{cos2x}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$y\prime =5cosx+3sinx$

Câu b:

$y^{\prime }=\left(2x-3\right)\cos \left(x^2-3x+2\right)$

Câu c:

$y^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}\left(-\sin \sqrt{2x+1}\right)=\frac{-\sin \sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$

Câu d:

$y=sin8x-sin2x\Rightarrow y\prime =8cos8x-2cos2x$

Câu e:

$y\prime =\frac{(cosx-sinx)(sinx-cosx)-{(cosx+sinx)}^2}{{(sinx-cosx)}^2}=\frac{-2}{{(sinx-cosx)}^2}$

Câu f:

$y\prime =\frac{-2sin2x}{2\sqrt{cos2x}}=\frac{-sin2x}{\sqrt{cos2x}}$

Chứng minh rằng hàm số $y=si{n}^{6}x+co{s}^{6}x+3si{n}^{2}xco{s}^{2}x$ có đạo hàm bằng 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}y=(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x)(si{n}^{4}x-si{n}^{2}xco{s}^{2}x+co{s}^{4}x)+3si{n}^{2}xco{s}^{2}x\\ =si{n}^{4}x+2si{n}^{2}xco{s}^{2}x+co{s}^{4}x\\ =(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x{)}^2=1\\ \Rightarrow y\prime =0\end{array}$

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

$\begin{array}{l}a)y=\tan \frac{x+1}{2}\\ b)y=cot\sqrt{x^2+1}\\ c)y=ta{n}^{3}x+cot2x\\ d)y=tan3x-cot3x\\ e)y=\sqrt{1+2tanx}\\ f)y=xcotx\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$y^{\prime }={\left(\frac{x+1}{2}\right)}^{\prime }.\frac{1}{{\cos }^2\frac{x+1}{2}}$

Câu b:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }.\frac{-1}{{\sin }^2\sqrt{x^2+1}}={\left(x^2+1\right)}^{\prime }.\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}.\frac{-1}{{\sin }^2\sqrt{x^2+1}}\\ =\frac{-2x}{2\sqrt{x^2+1}}.\frac{1}{si{n}^2\sqrt{x^2+1}}=\frac{-x}{\sqrt{x^2+1}}.\frac{1}{si{n}^2\sqrt{x^2+1}}\end{array}$

Câu c:

$\begin{array}{l}y\prime =3ta{n}^{2}x(tanx)\prime +(2x)\prime .\frac{-1}{si{n}^{2}2x}=3{\tan }^{2}x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}\\ =\frac{3ta{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}-\frac{2}{si{n}^{2}2x}\end{array}$

Câu d:

$y\prime =(3x)\prime .\frac{1}{co{s}^{2}3x}-(3x)\prime .\frac{-1}{si{n}^{2}3x}=\frac{3}{co{s}^{2}3x}+\frac{3}{si{n}^{2}3x}=\frac{12}{si{n}^{2}6x}$

Câu e:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(1+2\tan x\right)}^{\prime }.\frac{1}{2\sqrt{1+2\tan x}}=2{\left(\tan x\right)}^{\prime }.\frac{1}{2\sqrt{1+2\tan x}}\\ =\frac{1}{{\cos }^{2}x}.\frac{1}{\sqrt{1+2\tan x}}=\frac{1}{\sqrt{1+2tanx}.co{s}^{2}x}\end{array}$

Câu f:

$y^{\prime }=x^{\prime }\cot x+x.{\left(\cot x\right)}^{\prime }=\cot x+x.\frac{-1}{{\sin }^{2}x}=cotx-\frac{x}{si{n}^{2}x}$

Chứng minh rằng :

a. Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y′ − y² − 1 = 0

b. Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y′ + 2y² + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$y^{\prime }=1+{\tan }^{2}x.$ Do đó: $y\prime -y^2-1=(1+ta{n}^{2}x)-ta{n}^{2}x-1=0$

Câu b:

$y^{\prime }=-2\left(1+{\cot }^{2}2x\right)$. Do đó 

$y\prime +2y^2+2=-2(1+co{t}^{2}2x)+2co{t}^{2}2x+2=0$

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5  Bài 3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!