Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 3 Bài 4 Cấp số nhân

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

a. Dãy số 1, −2, 4, −8, 16, −32, 64

b. Dãy số (un) với un = n.6n+1

c. Dãy số (vn) với vn = (−1)n.32n

d. Dãy số (xn) với xn = (−4)2n+1.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội q = −2.

Câu b:

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{6\left( {n + 1} \right)}}{n}\) với mọi n ≥ 1. Suy ra (un) không phải là cấp số nhân.

Câu c:

\(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{.3}^{2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{.3}^{2n}}}} =  - 9\) với mọi n ≥ 1. Suy ra (vn) là một cấp số nhân với công bội q = −9.

Câu d:

\(\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 3}}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}}} = 16\) với mọi n ≥ 1. Suy ra (xn) là một cấp số nhân với công bội q = 16.

---

Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :

a. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội 0

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

b. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội q>1q>1 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

Hướng dẫn giải:

a. Giảm

b. Tăng

---

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q < 0. Biết u2=4u2=4 và u4=9u4=9, hãy tìm u1u1.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = 4\\
{u_4} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q = 4\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{u_1}{q^3} = 9\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Lấy (2) chia (1) ta được \({q^2} = \frac{9}{4} \Rightarrow q =  - \frac{3}{2}\) (vì q < 0)

Từ (1) suy ra \({u_1} = \frac{4}{q} =  - \frac{8}{3}\)

---

Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \(\frac{1}{{16}}\). Hãy tìm cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Với mỗi n ∈ {1,2,3,4,5}, kí hiệu u_n là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho.

Vì u₁ > 0, u₂ > 0 nên cấp số nhân (u_n) có công bội q > 0, và do đó u_n > 0, ∀n ∈ {1,2,3,4,5}. Từ đó:

\(\begin{array}{l}
1 = {u_1}.{u_3} = u_2^2 \Rightarrow {u_2} = 1\\
\frac{1}{{16}} = {u_3}.{u_5} = u_4^2 \Rightarrow {u_4} = \frac{1}{4}\\
u_3^2 = {u_2}.{u_4} = \frac{1}{4} \Rightarrow {u_3} = \frac{1}{2}
\end{array}\)

Do đó \({u_1} = \frac{1}{{{u_3}}} = 2\) và \({u_5} = \frac{1}{{16}}:{u_3} = \frac{1}{8}\)

Vậy cấp số nhân cần tìm là: \(2;1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}\).

---

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 0 và u₁ ≠ 0. Cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng u_m = u_k.q^m−k

Áp dụng: 

a. Tìm công bội q của cấp số nhân (un) có u₄ = 2 và u₇ = − 686.

b. Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u_n) mà u₂ = 5 và u₂₂ = −2000 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

u_m = u₁.q^m−1       (1)

u_k = u₁.q^k−1          (2)

Lấy (1) chia (2) ta được:

\(\frac{{{u_m}}}{{{u_k}}} = {q^{m - k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)

Áp dụng:

Câu a:

Ta có:

\(\frac{{{u_7}}}{{{u_4}}} = {q^{7 - 4}} \Rightarrow {q_3} =  - 343 \Rightarrow q =  - 7\)

Câu b:

Không tồn tại, vì:

\({q^{20}} = \frac{{{u_{22}}}}{{{u_2}}} = \frac{{ - 2000}}{5} < 0\), vô lí.

---

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) , biết rằng u₃ = −5 và u₆ = 135.

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có:

\(\begin{array}{l}
{q^3} = \frac{{{u_6}}}{{{u_3}}} = \frac{{135}}{{ - 5}} - 27 \Rightarrow q =  - 3\\
 - 5 = {u_3} = {u_1}.{q^2} = 9{u_1} \Leftrightarrow {u_1} =  - \frac{5}{9}
\end{array}\)

Số hạng tổng quát: \({u_n} =  - \frac{5}{9}.{\left( { - 3} \right)^{n - 1}} =  - 5.{\left( { - 3} \right)^{n - 3}}\)

---

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u_n (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.

Ta có 7314 ngày gồm (53 = 7314:138) chu kì bán rã.

Như thế, theo đề bài, ta cần tính u₅₃.

Từ giả thiết của bài toán suy ra dãy số (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 20 : 2 = 10 và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Do đó:

\({u_{53}} = 10.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ - 15}}\) (gam) 

---

Tính các tổng sau :

a. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366;

b. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 12561256 , số hạng thứ hai bằng −1512−1512 và số hạng cuối bằng  1104857611048576

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{54}}{{18}} = 3\)

Giả sử cấp số nhân có n số hạng ta có:

\(\begin{array}{l}
39366 = {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {18.3^{n - 1}}\\
 \Rightarrow {3^{n - 1}} = \frac{{39366}}{{18}} = 2187 = {3^7} \Rightarrow n = 8\\
 \Rightarrow {S_8} = {u_1}.\frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = 18.\frac{{1 - {3^8}}}{{1 - 3}} = 59040
\end{array}\)

Câu b:

Tương tự, ta có:

\(\begin{array}{l}
q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} =  - \frac{1}{2}\\
{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow \frac{1}{{1048576}} = \frac{1}{{256}}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\\
 \Rightarrow n = 13 \Rightarrow {S_{13}} = \frac{1}{{256}}.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^{13}}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{{2731}}{{{2^{10}}}} = \frac{{2731}}{{1048576}}
\end{array}\)

---

Bốn góc lượng giác có số đo dương lâp thành một cấp số nhân có tổng là 360⁰. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu A, B, C, D là số đo bốn góc (tính theo đơn vị độ) của tứ giác lồi đã cho. Không mất tổng quát, giả sử A ≤ B ≤ C ≤ D. Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta có D = 8A, và A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

8A = D = A.q³ ⇔ q = 2

Do đó \(360 = A + B + C + D = A.\frac{{1 - {2^4}}}{{1 - 2}} = 15A \Leftrightarrow A = {24^0}\)

Suy ra B = A.2 = 48⁰, C = A.2² = 96⁰ và D = A.2³ = 192⁰

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Bài 4 Cấp số nhân với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.