Bài 19 trang 114 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:
a. Dãy số (un) với un = 19n–5;
b. Dãy số (un) với un = an+b, trong đó a và b là các hằng số.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
un+1 − un = 19(n+1)−5−(19n−5) = 19 với mọi n ≥ 1.
Do đó (un) là một cấp số cộng với công sai d = 19.
Câu b:
Ta có:
un+1 − un = a(n+1)+b−(an+b) = a với mọi n ≥ 1.
Do đó (un) là một cấp số cộng với công sai d = a.
Bài 20 trang 114 SGK Toán 11 nâng cao
Trên tia Ox lấy ác điểm A1, A2, …, An,… sao cho mỗi số nguyên dương n, OAn = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n= 1,2,… Kí hiệu là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn -1 , nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải:
Với \(n \ge 2\), ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = \frac{1}{2}\left( {\pi \frac{{OA_n^2}}{4} - \pi \frac{{OA_{n - 1}^2}}{4}} \right) = \frac{1}{2}\pi \left[ {\left( {{n^2} - {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)} \right] = \frac{{\left( {2n - 1} \right)\pi }}{8}\left( {n \ge 2} \right)\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{8}\pi - \frac{{\left( {2n - 1} \right)}}{8}\pi = \frac{\pi }{4},\forall n \ge 2
\end{array}\)
Mặt khác: \({u_2} - {u_1} = \frac{{3\pi }}{8} - \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{4}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{\pi }{4},\forall n \in {N^*}\)
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = \frac{\pi }{4}\).
Bài 21 trang 114 SGK Toán 11 nâng cao
Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
a. Mỗi cấp số cộng với công sai d>0d>0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
b. Mỗi cấp số cộng với công sai d<0d<0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
Hướng dẫn giải:
a. Tăng
b. Giảm
Bài 22 trang 115 SGK Toán 11 nâng cao
Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải:
Với mỗi n ∈ {1,2,3,4,5}, kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
28 = u1+u3 = 2u2 ⇒ u2 = 14,
40 = u3+u5 = 2u4 ⇒ u4 = 20,
2u3 = u2+u4 = 34 ⇒ u3 = 17.
Ta có:
u1+u3 = 28 ⇒ u1 = 28−u3 = 11
u3+u5 = 40 ⇒ u5 = 40−u3 = 23
Vậy cấp số cộng cần tìm là: 11, 14, 17, 20, 23.
Bài 23 trang 115 SGK Toán 11 nâng cao
Cho cấp số cộng (un) có u20 = − 52 và u51 = − 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của cấp số cộng.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_{20}} = - 52\\
{u_{51}} = - 145
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 19d = - 52\\
{u_1} + 50d = - 145
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 5\\
d = - 3
\end{array} \right.\)
Vậy un = u1+(n−1)d = 5+(n−1)(−3) = −3n+8.
Bài 24 trang 115 SGK Toán 11 nâng cao
Cho cấp số cộng (un) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng um = uk+(m−k)d.
Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (un) mà u18 − u3 = 75.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
um = u1+(m−1)d (1)
uk = u1+(k−1)d (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
um−uk = (m−k)d ⇒ um = uk+(m−k)d
Áp dụng:
Ta có:
u18 − u3 = (18−3)d = 15d = 75 ⇒ d = 5.
Bài 25 trang 115 SGK Toán 11 nâng cao
Cho cấp số cộng (un) có u1−u3 = 6 và u5 = −10. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của cấp số cộng
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - {u_3} = 6\\
{u_5} = - 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6\\
{u_1} + 4d = - 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = - 3\\
{u_1} = 2
\end{array} \right.\)
Vậy d = −3 và un = u1+(n−1)d = 2−3(n−1) = −3n+5.
Bài 26 trang 115 SGK Toán 11 nâng cao
Hãy chứng minh định lí 3.
Hướng dẫn giải:
Ta sẽ chứng minh \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) (1)
- Với n = 1, ta có \({S_1} = {u_1} = \frac{{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)}}{2}\). Như vậy (1) đúng với n = 1.
- Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N∗, tức là:
\({S_k} = \frac{{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)}}{2}\)
- Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1
\(\begin{array}{l}
{S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}}\\
= \frac{{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)}}{2} + {u_{k + 1}}\\
= \frac{{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}}}{2}\\
= \frac{{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd}}{2}\\
= \frac{{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}}}{2}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)}}{2}
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k+1
Vậy (1) đúng với mọi n ∈ N∗.
Bài 27 trang 115 SGK Toán 11 nâng cao
Cho cấp số cộng (un) có u2+u22 = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có :
u1 = u2−d và u23 = u22+d
Do đó, áp dụng định lí 3 cho n = 23, ta được:
\({S_{23}} = \frac{{23\left( {{u_1} + {u_{23}}} \right)}}{2} = \frac{{23\left( {{u_2} + {u_{22}}} \right)}}{2} = \frac{{23.60}}{2} = 23.30 = 690\)
Bài 28 trang 115 SGK Toán 11 nâng cao
Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu A, B, C là số đo ba góc (tính theo đơn vị đo) của tam giác vuông đã cho. Không mất tổng quát, có thể giả sử A ≤ B ≤ C. Khi đó, từ giả thiết tam giác vuông suy ra C = 900 và A, B, C theo thứ tự đó là một cấp số cộng.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
A + C = 2B\\
A + B + C = {180^0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A + {90^0} = 2B\\
A + B = {90^0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = {30^0}\\
B = {60^0}
\end{array} \right.\)
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Bài 3 Cấp số cộng với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
