Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Luyện tập trang 212 - 213

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :

\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{{sinx}}{x} + \frac{x}{{sinx}}\\
b)y = \frac{{si{n^2}x}}{{1 + tan2x}}\\
c)y = tan(sinx)\\
d)y = xcot({x^2} - 1)\\
e)y = co{s^2}\sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} \\
f)y = x\sqrt {sin3x} 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }.x - \sin x.\left( {x'} \right)}}{{{x^2}}} + \frac{{x\prime sinx - x.(sinx)\prime }}{{si{n^2}x}}\\
 = \frac{{xcosx - sinx}}{{{x^2}}} + \frac{{sinx - xcosx}}{{si{n^2}x}}\\
 = (xcosx - sinx)\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{si{n^2}x}}} \right)
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^\prime }.\left( {1 + \tan 2x} \right) - {{\sin }^2}x\left( {1 + \tan 2x} \right)'}}{{{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{2\sin x\left( {sinx} \right)'\left( {1 + \tan 2x} \right) - {{\sin }^2}x\left( {2x} \right)'.\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{2\sin x\cos x\left( {1 + \tan 2x} \right) - {{\sin }^2}x.2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{\sin 2x}}{{1 + \tan 2x}} - \frac{{2{{\sin }^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Câu c:

\(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime }.\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}} = \frac{{cosx}}{{co{s^2}(sinx)}}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
y' = x'.\cot \left( {{x^2} - 1} \right) + x.{\left[ {\cot \left( {{x^2} - 1} \right)} \right]^\prime }\\
 = cot({x^2} - 1) + x.({x^2} - 1)\prime .\frac{{ - 1}}{{sin2({x^2} - 1)}}\\
 = cot({x^2} - 1) + x.\frac{{ - 2x}}{{si{n^2}({x^2} - 1)}}\\
 = cot({x^2} - 1) - \frac{{2{x^2}}}{{si{n^2}({x^2} - 1)}}
\end{array}\)

Câu e: 

\(\begin{array}{l}
y' = 2{\left( {co{\mathop{\rm s}\nolimits} \sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} } \right)^\prime }.co{\mathop{\rm s}\nolimits} \sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} \\
 = 2{\left( {\sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} } \right)^'}.\left( { - \sin \sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} } \right).co{\mathop{\rm s}\nolimits} \sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} \\
 = \frac{{{{\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)}^'}}}{{2.\sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} }}.\left( { - 2\sin \sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} .\cos \sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} } \right)\\
 = \frac{{ - 2}}{{2\sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} }}.\left( { - \sin 2\sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} } \right) = \frac{{2\sin \sqrt {\pi  - 8x} }}{{\sqrt {\pi  - 8x} }}
\end{array}\)

Câu f:

\(\begin{array}{l}
y' = x'\sqrt {\sin 3x}  + x.{\left( {\sqrt {\sin 3x} } \right)^\prime } = \sqrt {sin3x}  + x.\frac{{(sin3x)\prime }}{{2\sqrt {sin3x} }}\\
 = \sqrt {sin3x}  + x.\frac{{3cos3x}}{{2\sqrt {sin3x} }} = \frac{{2sin3x + 3xcos3x}}{{2\sqrt {sin3x} }}
\end{array}\)

---

Tính f′(π) nếu \(f(x) = \frac{{sinx - xcosx}}{{cosx - xsinx}}\)

Hướng dẫn giải:

Với mọi x sao cho cosx − xsinx ≠ 0, ta có:

\(f\prime (x) = \frac{{[cosx - (cosx - xsinx)](cosx - xsinx) - (sinx - xcosx)[ - sinx - (sinx + xcosx)]}}{{{{(cosx - xsinx)}^2}}}\)

Vì sinπ = 0, cosπ = −1 nên: \(f\prime (\pi ) = \frac{{[ - 1 - ( - 1)].( - 1) - \pi .\pi }}{{{{( - 1)}^2}}} =  - {\pi ^2}\)

---

Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :

a. y = sin2x - 2cosx

b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

c. y=cos2x + sinx

d. y = tanx + cotx

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với mọi x ∈ R, ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = 2\cos 2x + 2\sin x = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\\
 =  - 4si{n^2}x + 2sinx + 2
\end{array}\)

Vậy \(y\prime  = 0 \Leftrightarrow 2si{n^2}x - sinx - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
sinx = 1\\
sinx =  - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in Z)
\end{array} \right.\)

Câu b:

Với mọi x ∈ R, ta có: y′ = 6cos2x − 8sin2x + 10

Vậy y′ = 0 <=> 4sin2x−3cos2x = 5

\( \Leftrightarrow \frac{4}{5}sin2x - \frac{3}{5}cos2x = 1(1)\)

Vì \({\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\)  nên có số α sao cho cosα = 4/5 và sinα = 3/5

Thay vào (1), ta được :

\(\begin{array}{l}
sin2xcos\alpha  - sin\alpha cos2x = 1\\
 \Leftrightarrow sin(2x - \alpha ) = 1\\
 \Leftrightarrow 2x - \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {\alpha  + \frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)(k \in Z)
\end{array}\)

Câu c:

Với mọi x ∈ R, ta có: y′ = −2cosxsinx + cosx = cosx(1 − 2sinx)

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 0 \Leftrightarrow cosx(1 - 2sinx) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
cosx = 0\\
1 - 2sinx = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi (k \in Z)\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = \frac{1}{{co{s^2}x}} - \frac{1}{{si{n^2}x}}\forall x \ne k\frac{\pi }{2}\\
y\prime  = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{co{s^2}x}} = \frac{1}{{si{n^2}x}} \Leftrightarrow ta{n^2}x = 1\\
 \Leftrightarrow tanx =  \pm 1 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)

---

Cho hàm số f(x) = 2cos2(4x − 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có |f′(x)| ≤ 8. Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Hướng dẫn giải:

Với mọi x ∈ R, ta có:

f′(x) = 2.2cos(4x−1).[−sin(4x−1)]4 = −8sin2(4x−1)

Suy ra: |f′(x)| = 8|sin2(4x−1)| ≤ 8

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
sin2(4x - 1) =  \pm 1\\
 \Leftrightarrow 2(4x - 1) = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8} + \frac{1}{4}\\
 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{16}}(\pi  + 4 + k2\pi )(k \in Z)
\end{array}\)

---

Cho mạch điện như hình 5.7. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây ; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q0sinωt. Trong đó, ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q′(t) Cho biết Q0 = 10-8 và ω = 106πrad/s. Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến 10-5 mA)

Hướng dẫn giải:

Cường độ dòng điện tại thời điểm t là :

\(I(t) = q\prime (t) = {Q_0}\omega cos\omega t\)

Khi Q0 = 10-8C và ω = 106πrad/s thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là :

\(I(6) = {10^{ - 8}}{.10^{^6}}\pi .cos({10^6}\pi .6) = \frac{\pi }{{100}}(A) \approx 31,41593(mA)\)

---

Cho hàm số y = cos2x + msinx (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:

a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1

b. Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ x = −π/4  và x = π/3 song song hoặc trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = cos2x + msinx, ta có :

f′(x) = −sin2x + mcosx

Câu a:

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = π là:

\(\begin{array}{l}
f\prime (\pi ) =  - sin2\pi  + mcos\pi  =  - m\\
 \Rightarrow f\prime (\pi ) = 1 \Leftrightarrow m =  - 1
\end{array}\)

Câu b:

Theo đề bài ta có:

\(f\prime \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right) = f\prime \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow  - sin\left( {\frac{{ - \pi }}{2}} \right) + mcos\left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right) =  - sin\frac{{2\pi }}{3} + mcos\frac{\pi }{3}\\
 \Leftrightarrow 1 + m\frac{{\sqrt 2 }}{2} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{m}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{\sqrt 3  + 2}}{{1 - \sqrt 2 }}
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Luyện tập trang 212 - 213 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!