Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Luyện tập trang 219

Bài 45 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm vi phân của mỗi hàm số sau 

a)y=tan23xcot3x2b)y=cos22x+1

Hướng dẫn giải:

Câu a:

y=2tan3x.3(1+tan23x)+6x(1+cot23x2)dy=ydx=[6tan3x(1+tan23x)+6x(1+cot23x2)]dx

Câu b:

y=2cos2x.(2sin2x)2.cos22x+1=sin4xcos22x+1dy=ydx=sin4xcos22x+1dx


Bài 46 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :

a) 120,3

b) tan 29030'

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì 120,3=120,25+0,05 nên ta xét hàm số f(x)=1x tại 

x0 = 20,25

Với Δx = 0,05. Ta có :

f(x0)=120,25=14,5f(x0)=12.20,25.20,25=1182,25

Do đó: 

120,3=f(20,3)=f(x0+0,05)=f(x0)+f(x0).0,05=14,50,05182,250,222

Câu b:

Vì tan29030=tan(π6π360) nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại x0=π6

Với Δx=π360. Ta có:

f(x0)=tanπ6=13f(x0)=1+tan2π6=43.

Do đó: 

tan(π6π360)f(x0)+f(x0)Δx=13+43(π360)0,566


Bài 47 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

a. Cho hàm số f(x) = tanx. Tính f(n)(x) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu f(x)=sin2x thì f(4n)(x)=24n1cos2x

Hướng dẫn giải:

Câu a:

f(x)=1+tan2xf(x)=2tanx.(1+tan2x)f(3)(x)=2(1+tan2x)2+4tan2x(1+tan2x)

Câu b:

f(4n)(x)=24n1cos2x

Với n = 1 ta có:

f(x)=sin2xf(x)=2cos2xf(3)(x)=4sin2xf(4)(x)=8cos2x

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là : f(4k)(x)=24k1cos2x

Với n = k + 1 ta có :

f(4k+1)(x)=(f(4k)(x))=24ksin2xf(4k+2)(x)=24k+1cos2xf(4k+3)(x)=24k+2sin2xf(4k+4)(x)=24k+3cos2x

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.


Bài 48 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

Chứng minh:

a. Nếu y=Asin(ωt+φ)+Bcos(ωt+φ), trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì  y"+ω2y=0.

b. Nếu y=2xx2 thì y3y+1=0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

y=Asin(ωt+φ)+Bcos(ωt+φ)y=Aωcos(ωt+φ)Bωsin(ωt+φ)y=Aω2sin(ωt+φ)Bω2cos(ωt+φ)y+ω2y=[Aω2sin(ωt+φ)+Bω2cos(ωt+φ)]+ω2[Asin(ωt+φ)+Bcos(ωt+φ)]=0

Câu b:

y=22x22xx2=1x2xx2y=2xx2(1x).1x2xx2(2xx2)=2x+x21+2xx2(2xx2)3=1(2xx2)3y3.y+1=(2xx2)3.1(2xx2)3+1=0

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Luyện tập trang 219 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?