Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Luyện tập trang 219

Tìm vi phân của mỗi hàm số sau 

\(\begin{array}{l}
a)y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\\
b)y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 2tan3x.3(1 + ta{n^2}3x) + 6x(1 + co{t^2}3{x^2})\\
 \Rightarrow dy = y\prime dx = [6tan3x(1 + ta{n^2}3x) + 6x(1 + co{t^2}3{x^2})]dx
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = \frac{{2cos2x.( - 2sin2x)}}{{2.\sqrt {co{s^2}2x + 1} }} = \frac{{ - sin4x}}{{\sqrt {co{s^2}2x + 1} }}\\
 \Rightarrow dy = y\prime dx =  - \frac{{sin4x}}{{\sqrt {co{s^2}2x + 1} }}dx
\end{array}\)

Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :

a) \(\frac{1}{{\sqrt {20,3} }}\)

b) tan 29⁰30'

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì \(\frac{1}{{\sqrt {20,3} }} = \frac{1}{{\sqrt {20,25 + 0,05} }}\) nên ta xét hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt x }}\) tại 

x₀ = 20,25

Với Δx = 0,05. Ta có :

\(\begin{array}{l}
f({x_0}) = \frac{1}{{\sqrt {20,25} }} = 14,5\\
f\prime ({x_0}) = \frac{{ - 1}}{{2.20,25.\sqrt {20,25} }} =  - \frac{1}{{182,25}}
\end{array}\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt {20,3} }} = f(20,3) = f({x_0} + 0,05)\\
 = f({x_0}) + f\prime ({x_0}).0,05 = \frac{1}{{4,5}} - \frac{{0,05}}{{182,25}} \approx 0,222
\end{array}\)

Câu b:

Vì \(tan{29^0}30\prime  = tan\left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{360}}} \right)\) nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại \({x_0} = \frac{\pi }{6}\)

Với \(\Delta x = \frac{{ - \pi }}{{360}}\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
f({x_0}) = tan\frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
f\prime ({x_0}) = 1 + ta{n^2}\frac{\pi }{6} = \frac{4}{3}.
\end{array}\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
tan\left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx f({x_0}) + f\prime ({x_0})\Delta x\\
 = \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{4}{3}\left( { - \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx 0,566
\end{array}\)

a. Cho hàm số f(x) = tanx. Tính f⁽ⁿ⁾(x) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{(4n)}}(x) =  - {2^{4n - 1}}cos2x\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 1 + tan2x\\
f(x) = 2tanx.(1 + ta{n^2}x)\\
{f^{(3)}}(x) = 2{(1 + ta{n^2}x)^2} + 4ta{n^2}x(1 + ta{n^2}x)
\end{array}\)

Câu b:

\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Với n = 1 ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = sin2x\\
f(x) = 2cos2x\\
{f^{(3)}}(x) =  - 4sin2x\\
{f^{(4)}}(x) =  - 8cos2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{(4k)}}(x) =  - {2^{4k - 1}}cos2x\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\begin{array}{l}
{f^{(4k + 1)}}(x) = ({f^{(4k)}}(x))\prime  = {2^{4k}}sin2x\\
{f^{(4k + 2)}}(x) = {2^{4k + 1}}cos2x\\
{f^{(4k + 3)}}(x) =  - {2^{4k + 2}}sin2x\\
{f^{(4k + 4)}}(x) =  - {2^{4k + 3}}cos2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

Chứng minh:

a. Nếu \(y = Asin(\omega t + \varphi ) + Bcos(\omega t + \varphi )\), trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì  y"+ω²y=0.

b. Nếu \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) thì \({y^3}y + 1 = 0.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
y = Asin(\omega t + \varphi ) + Bcos(\omega t + \varphi )\\
y\prime  = A\omega cos(\omega t + \varphi ) - B\omega sin(\omega t + \varphi )\\
y =  - A{\omega ^2}sin(\omega t + \varphi ) - B\omega 2cos(\omega t + \varphi )\\
 \Rightarrow y + {\omega ^2}y =  - [A{\omega ^2}sin(\omega t + \varphi ) + B{\omega ^2}cos(\omega t + \varphi )] + {\omega ^2}[Asin(\omega t + \varphi ) + Bcos(\omega t + \varphi )] = 0
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\
y'' = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}}  - \left( {1 - x} \right).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{\left( {2x - {x^2}} \right)}}\\
 = \frac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}\\
 \Rightarrow {y^3}.y'' + 1 = \sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} .\frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 = 0
\end{array}\)

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Luyện tập trang 219 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!