Bài 38 trang 121 SGK Toán 11 nâng cao
Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
a. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
b. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.
c. \(1 + \pi + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = \frac{{{\pi ^{100}} - 1}}{{\pi - 1}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Sai, vì 1, 2, 3 là cấp số cộng nhưng \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\) không là cấp số cộng.
Câu b:
Đúng, vì nếu a, b, c là cấp số nhân công bội q ≠ 0 thì \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) là cấp số nhân công bội \(\frac{1}{q}\).
Câu c:
Sai, vì \(1 + \pi + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = \frac{{{\pi ^{101}} - 1}}{{\pi - 1}}\)
Bài 39 trang 122 SGK Toán 11 nâng cao
Các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x–1, y+2, x–3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Hướng dẫn giải:
Vì các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên:
2(5x+2y) = (x+6y)+(8x+y) ⇔ x = 3y (1)
Vì các số x–1, y+2, x–3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên:
(y+2)2 = (x−1)(x−3y) (2)
Thế (1) vào (2), ta được (y+2)2 = 0 ⇔ y = − 2. Từ đó x = − 6.
Bài 40 trang 122 SGK Toán 11 nâng cao
Cho cấp số cộng (un) với công sai khác 0. Biết rằng các số u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.
Hướng dẫn giải:
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau ⇒ u1.u2 ≠ 0 và q ≠ 1.
Ta có u2u3 = u1u2.q và u3u1 = u1u2.q2.
Từ đó suy ra u3 = u1q = u2q2 (vì u1u2 ≠ 0). Do đó u1 = u2q (vì q ≠ 0 theo giả thiết)
Vì u1, u2, u3 là một cấp số cộng nên u1+u3 = 2u2, suy ra:
u2(q+q2) = 2u2 ⇔ q2+q−2 = 0 (vì u2 ≠ 0) ⇔ q = −2 (vì q ≠ 1).
Bài 41 trang 122 SGK Toán 11 nâng cao
Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu (un) là cấp số cộng đã cho và gọi q là công bội của cấp số nhân u2, u1, u3. Theo đề bài, ta cần tính q.
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau, suy ra q ∉ {0, 1} và u2 ≠ 0.
Từ các giả thiết của đề bài ta có u1 = u2q, u3 = u2q2 và u1 + u3 = 2u2, suy ra:
u2(q+q2) = 2u2 ⇔ q2+q−2 = 0 (vì u2 ≠ 0) ⇔ q = − 2 (vì q ≠ 1).
Bài 42 trang 122 SGK Toán 11 nâng cao
Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \(\frac{{148}}{9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu u1, u2, u3 lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân nói trong đề bài; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.
Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u1, u2 và u3 tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.
Ta có: u1 ≠ 0, vì nếu ngược lại thì u2 = u3 = 0, do đó u1+u2+u3 = 0 ≠ \(\frac{{148}}{9}\)
Từ các giả thiết của đề bài ta có: u2 = u1q = u1+3d và u3 = u2q = u2+4d
Suy ra:
u1(q−1) = 3d (1)
u2(q−1) = 4d (2)
Xét hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: q ≠ 1. Khi đó từ (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u1 ≠ 0) và \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{3}\)
Từ đó, ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.\frac{{1 - {q^3}}}{{1 - q}}\\
= {u_1}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^3}}}{{1 - \frac{4}{3}}} = {u_1}.\frac{{37}}{9} \Rightarrow {u_1} = 4\\
\Rightarrow {u_2} = {u_1}q = \frac{{16}}{3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = \frac{{64}}{9}
\end{array}\)
Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{4}{9}\)
- Trường hợp 2: q = 1. Khi đó u1 = u2 = u3. Do đó \(\frac{{148}}{9} = 3{u_1}\)
Suy ra \({u_1} = {u_2} = {u_3} = \frac{{148}}{{27}}\)
Hiển nhiên ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0. Vậy có hai bộ ba số cần tìm là:
\({u_1} = 4,{u_2} = \frac{{16}}{3},{u_3} = \frac{{64}}{9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = \frac{{148}}{{27}}\).
Bài 43 trang 122 SGK Toán 11 nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 1 và un + 1 = 5un + 8 với mọi n ≥ 1.
a. Chứng minh rằng dãy số (vn), với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
b. Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Từ hệ thức xác định dãy số (un), suy ra với mọi n ≥ 1, ta có:
un+1+2 = 5(un+2) hay vn+1 = 5un
Do đó (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 = u1+2 = 3 và công bội q = 5.
Số hạng tổng quát là: vn = 3.5n-1
Câu b:
Số hạng tổng quát của dãy số (un) là: un = vn−2 = 3.5n−1 − 2 với mọi n ≥ 1.
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Luyện tập (trang 121, 122) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
