Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Bài 4 Vi phân

Tính vi phân của hàm số f(x) = sin2x tại điểm x = π/3 ứng với ∆x = 0,01 ; ∆x = 0,001.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
df({x_0}) = f\prime ({x_ \leftarrow })\Delta x.\\
Ta{\rm{ }}c\'o f\prime (x) = 2cos2xdf\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2cos\frac{{2\pi }}{3}.\Delta x =  - \Delta x
\end{array}\)

Với Δx = 0,01 thì \(df\left( {\frac{\pi }{3}} \right) =  - 0,01\)

Với Δx = 0,001 thì \(df\left( {\frac{\pi }{3}} \right) =  - 0,001\)

Tính vi phân của các hàm số sau :

a. \(y = \frac{{\sqrt x }}{{a + b}}\) (a và b là các hằng số)

b. y = xsinx

c. \(y = {x^2} + {\sin ^2}x\)

d. \(y = ta{n^3}x\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y\prime  = \frac{1}{{2(a + b)\sqrt x }} \Rightarrow dy = \frac{1}{{2(a + b)\sqrt x }}dx\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = sinx + xcosx\\
 \Rightarrow dy = y\prime dx = (sinx + xcosx)dx
\end{array}\)

Câu c:

\(dy = y\prime dx = (2x + sin2x)dx\)

Câu d:

\(dy = y\prime dx = 3ta{n^2}x(1 + ta{n^2}x)dx\)

Áp dụng công thức (2), tìm giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

\(\begin{array}{l}
a)\frac{1}{{0,9995}}\\
b)\sqrt {0,996} \\
c)cos{45^0}30\prime 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Xét hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) , ta có \(f'(x) = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\)

Đặt x₀ = 1, Δx = −0,0005 và áp dụng công thức gần đúng

\(f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f\prime ({x_0})\Delta x\) 

Ta được: 

\(\begin{array}{l}
1{x_0} + \Delta x \approx \frac{1}{{{x_0}}} - \frac{1}{{x_0^2}}.\Delta x,\\
Hay\,\,\frac{1}{{0,9995}} \approx 1 + 0,0005 = 1,0005
\end{array}\)

Câu b:

Xét 

\(\begin{array}{l}
f(x) = \sqrt x ta{\rm{ }}c\'o f\prime (x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\
{x_0} = 1,\Delta x =  - 0,004\\
f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f\prime ({x_0})\Delta x\\
 \Leftrightarrow \sqrt {0,996}  \approx 1 - \frac{1}{2}.0,004 = 0,998
\end{array}\)

Câu c:

Xét hàm số f(x) = cosx ta có: f′(x) = −sinx

Đặt \({x_0} = \frac{\pi }{4},\Delta x = \frac{\pi }{{360}}\)

\(cos\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx cos\frac{\pi }{4} - sin\left( {\frac{\pi }{4}} \right).\frac{\pi }{{360}}\)

Vậy \(cos{45^0}30\prime  \approx \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{\pi }{{360}} \approx 0,7009\)

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Bài 4 Vi phân được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!