Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 2 Bài 2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng ? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).

Hướng dẫn giải:

Có 5! = 120 khả năng

Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?

Hướng dẫn giải:

Ba vị trí nhất nhì ba là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử nên

Có \(A_8^3 = 8.7.6 = 336\) kết quả

Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm. Hỏi:

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

b. Có bao nhiêu vecto khác vecto \(\overrightarrow 0 \) mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử P = {A₁;A₂;A₃;…;A_n}. Với mỗi tập con {A₁;A₂} (i ≠ j), ta tạo được đoạn thẳng A_iA_j. Ngược lại, mỗi đoạn thẳng với hai đầu mút là hai điểm A_i,A_j tương ứng với tập con {A_i;A_j}. Thứ tự hai đầu mút không quan trọng: Đoạn thẳng A_iA_j và đoạn thẳng A_jA_i chỉ là một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc P chính bằng số tổ hợp chập 2 của n phần tử, tức là bằng \(C_n^2 = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).

Câu b:

Với mỗi bộ hai điểm có sắp thứ tự (A_i,A_j) ( i ≠ j) ta tạo được một vecto \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \) ứng với một bộ hai điểm có sắp thứ tự (A_i,A_j), Ai là điểm gốc, A_j là điểm ngọn. Thứ tự hai điểm ở đây quan trọng vì \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \) và \(\overrightarrow {{A_j}{A_i}} \) là hai vecto khác nhau. Do đó số vecto cần tìm bằng số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử, tức là bằng \(A_n^2 = n\left( {n - 1} \right)\).

Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.

a. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

b. Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Số cách chọn 3 người mà không có sự phân biệt về chức vụ trong ban thường vụ bằng số tổ hợp chập 3 của 7 phân tử, tức bằng \(C_7^3 = 35\) cách chọn.

Câu b:

Số cách chọn 3 người với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ bằng số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử, tức bằng \(A_7^3 = 210\) cách chọn.

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 2 Bài 2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.