Bài 1 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
a. \(y = \sqrt {3 - \sin x} \);
b. \(y = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}\)
c. \(y = \sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \cos x}}} \)
d. \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Vì −1 ≤ sinx ≤ 1 nên 3 – sinx > 0 với mọi xx nên tập xác định của hàm số là: D = R
Câu b:
\(y = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z
Vậy tập xác định D = R∖{kπ, k ∈ Z}
Câu c:
Vì 1–sinx ≥ 0 và 1+cosx ≥ 0nên hàm số xác định khi và chỉ khi cosx ≠ −1 ⇔ x ≠ π+k2π, k∈Z
Vậy tập xác định D = R∖{π+k2π, k∈Z}
Câu d:
\(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) xác định ⇔ \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\)
\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in Z\)
Vậy tập xác định \(D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}\)
Bài 2 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau :
a. y = −2sinx
b. y = 3sinx–2
c. y = sinx–cosx
d. y = sinxcos2x+tanx
Hướng dẫn giải:
Câu a:
f(x) = −2sinx
Tập xác định D = R, ta có f(−x) = −2sin(−x) = −f(x),∀x ∈ R
Vậy y = −2sinx là hàm số lẻ.
Câu b:
f(x) = 3sinx–2
Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1;f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - 5\)
\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) \ne - f\left( { \frac{\pi }{2}} \right)\) và \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số y = 3sinx–2 không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.
Câu c:
f(x) = sinx–cosx
Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0;f\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \)
\(f\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \ne - f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) và \(f\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) nên y = sinx–cosx không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.
Câu d:
f(x) = sinxcos2x+tanx
Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
∀x ∈ D ta có –x ∈ D và
f(−x) = sin(−x)cos2(−x)+tan(−x) = −sinxcos2x−tanx = − f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài 3 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a. \(y = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\)
b. \(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\)
c. \(y = 4\sin \sqrt x \)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\\
\Rightarrow 1 \le 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5\\
\Rightarrow 1 \le y \le 5
\end{array}\)
Vậy \(\min y = 1\) khi \(x + \frac{\pi }{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) \(k \in Z\)
\(\max y = 5\) khi \(x + \frac{\pi }{3} = k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \) \(k \in Z\)
Câu b:
Ta có 0 ≤ 1−sinx2 ≤ 2
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - 1 \le \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1 \le \sqrt 2 - 1\\
\Rightarrow - 1 \le y \le \sqrt 2 - 1
\end{array}\)
Vậy min y = −1 khi \({x^2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in Z\)
\(\max y = \sqrt 2 - 1\) khi \({x^2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k > 0,k \in Z\)
Câu c:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \sqrt x \le 1 \Rightarrow - 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4\\
\Rightarrow - 4 \le y \le 4
\end{array}\)
Vậy min y = −4 khi \(\sqrt x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k > 0,k \in Z\)
max y = 4 khi \(\sqrt x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in Z\)
Bài 4 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao
Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng
\({J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right),{J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right),{J_3} = \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right),{J_4} = \left( { - \frac{{452\pi }}{3};\frac{{601\pi }}{4}} \right)\)
Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng J1J1 ? Trên khoảng J2J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng).
Hướng dẫn giải:
\({J_3} = \left( {8\pi - \frac{\pi }{4};8\pi + \frac{\pi }{4}} \right),{J_4} = \left( { - 150\pi - \frac{{2\pi }}{3}; - 105\pi - \frac{\pi }{4}} \right)\)
Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :
| Hàm số | J1 | J2 | J3 | J4 |
| f(x)=sinx | 0 | + | + | 0 |
| g(x)=cosx | + | 0 | 0 | + |
| h(x)=tanx | + | + | + | 0 |
Bài 5 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ?
a. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến.
b. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin2x đồng biến thì hàm số y = cos2x nghịch biến.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Sai, vì trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) hàm số y = sinx đồng biến nhưng hàm số y = cosx không nghịch biến.
Câu b:
Đúng, vì sin2x+cos2x = 1
Giả sử y = sin2x đồng biến trên khoảng I, khi đó với x1, x2 ∈ I và x1 < x2 thì sin2x1 < sin2x2
⇒ 1−sin2x1 > 1−sin2x2 ⇒ cos2x1 > cos2x2
⇒ y = cos2x nghịch biến trên I.
Bài 6 trang 15 SGK Toán 11 nâng cao
Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x
a. Chứng minh rằng với số nguyên kk tùy ý, luôn có f(x+kπ) = f(x) với mọi x.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn
c. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có f(x+kπ) = 2sin2(x+kπ) = 2sin(2x+k2π) = 2sin2x = f(x), ∀x∈R
Câu b:
Bảng biến thiên
Câu c:
Đồ thị
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 1 Bài 1 Các hàm số lượng giác với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
