Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 1 Bài 1 Các hàm số lượng giác

Bài 1 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

a. y=3sinx;                                                                

b. y=1cosxsinx

c. y=1sinx1+cosx                                                             

d. y=tan(2x+π3)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì −1 ≤ sinx ≤ 1 nên 3 – sinx > 0 với mọi xx nên tập xác định của hàm số là: D = R

Câu b:

y=1cosxsinx xác định khi và chỉ khi sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z

Vậy tập xác định D = R∖{kπ, k ∈ Z}

Câu c:

Vì 1–sinx ≥ 0 và 1+cosx ≥ 0nên hàm số xác định khi và chỉ khi cosx ≠ −1 ⇔ x ≠ π+k2π, k∈Z

Vậy tập xác định D = R∖{π+k2π, k∈Z}

Câu d:

y=tan(2x+π3) xác định ⇔ cos(2x+π3)0 

2x+π3π2+kππ12+kπ2,kZ

Vậy tập xác định D=R{π12+kπ2,kZ}


Bài 2 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao 

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau :

a. y = −2sinx

b. y = 3sinx–2

c. y = sinx–cosx

d. y = sinxcos2x+tanx

Hướng dẫn giải:

Câu a:

f(x) = −2sinx

Tập xác định D = R, ta có f(−x) = −2sin(−x) = −f(x),∀x ∈ R

Vậy y = −2sinx là hàm số lẻ.

Câu b:

f(x) = 3sinx–2

Ta có:  f(π2)=1;f(π2)=5

f(π2)f(π2) và f(π2)f(π2) nên hàm số y = 3sinx–2 không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

Câu c:

f(x) = sinx–cosx

Ta có: f(π4)=0;f(π4)=2

f(π4)f(π4) và f(π4)f(π4) nên y = sinx–cosx không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.

Câu d:

f(x) = sinxcos2x+tanx

Tập xác định: D=R{π2+kπ,kZ}

∀x ∈ D ta có –x ∈ D và  

f(−x) = sin(−x)cos2(−x)+tan(−x) = −sinxcos2x−tanx = − f(x)

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.


Bài 3 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a. y=2cos(x+π3)+3

b.  y=1sin(x2)1

c.  y=4sinx

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có 1cos(x+π3)1

22cos(x+π3)212cos(x+π3)+351y5

Vậy miny=1 khi x+π3=π+k2πx=2π3+k2π kZ

maxy=5 khi x+π3=k2πx=π3+k2π kZ

Câu b:

Ta có  0 ≤ 1−sinx≤ 2

11sin(x2)1211y21

 Vậy min y = −1 khi x2=π2+k2π,k0,kZ

maxy=21 khi x2=π2+k2π,k>0,kZ

Câu c:

Ta có:

1sinx144sinx44y4

 Vậy min y = −4 khi x=π2+k2π,k>0,kZ

max y = 4 khi x=π2+k2π,k0,kZ


Bài 4 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao

Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng

J1=(π;3π2),J2=(π4;π4),J3=(31π4;33π4),J4=(452π3;601π4) 

Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng J1J1 ? Trên khoảng J2J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng).

Hướng dẫn giải:

J3=(8ππ4;8π+π4),J4=(150π2π3;105ππ4)

Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :

Hàm số

J1

J2

J3

J4

f(x)=sinx

0

+

+

0

g(x)=cosx

+

0

0

+

h(x)=tanx

+

+

+

0


Bài 5 trang 14 SGK Toán 11 nâng cao

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ?

a. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến.

b. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin2x đồng biến thì hàm số y = cos2x nghịch biến.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Sai, vì trên khoảng (π2;π2) hàm số y = sinx đồng biến nhưng hàm số y = cosx không nghịch biến.

Câu b:

Đúng, vì sin2x+cos2x = 1

Giả sử y = sin2x đồng biến trên khoảng I, khi đó với x1, x∈ I và x< x2 thì sin2x< sin2x2

⇒ 1−sin2x> 1−sin2x⇒ cos2x> cos2x2

⇒ y = cos2x nghịch biến trên I.


Bài 6 trang 15 SGK Toán 11 nâng cao

Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x

a. Chứng minh rằng với số nguyên kk tùy ý, luôn có f(x+kπ) = f(x) với mọi x.

b. Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn 

c. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có f(x+kπ) = 2sin2(x+kπ) = 2sin(2x+k2π) = 2sin2x = f(x), ∀x∈R

Câu b:

Bảng biến thiên

Câu c:

Đồ thị

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 1 Bài 1 Các hàm số lượng giác với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt. 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?