Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 1 Bài 2 Phương trình lượng giác cơ bản

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 4x = \sin \frac{\pi }{5}\)

b) \(\sin \left( {\frac{{x + \pi }}{5}} \right) =  - \frac{1}{2}\)

c) \(\cos \frac{x}{2} = \cos \sqrt 2 \)

d) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \frac{2}{5}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\sin 4x = \sin \frac{\pi }{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\
4x = \pi  - \frac{\pi }{5} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2}\\
x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\frac{{x + \pi }}{5}} \right) =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{x + \pi }}{5}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{x + \pi }}{5} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
\frac{{x + \pi }}{5} = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{{11\pi }}{6} + k10\pi \\
x = \frac{{29\pi }}{6} + k10\pi 
\end{array} \right.
\end{array}\)

Câu c:

\(\cos \frac{x}{2} = \cos \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{x}{2} =  \pm \sqrt 2  + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm 2\sqrt 2  + k4\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Câu d:

Vì \(0 < \frac{2}{5} < 1\) nên có số \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha  = \frac{2}{5}\).

Do đó \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  - \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in Z\).

---

a. Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng (−π;4π) là nghiệm của mỗi phương trình sau :

1.  \(\sin x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

2. sinx = 1

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau

1.  \(\cos x = \frac{1}{2}\)

2. cosx = −1.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

1/ \(\sin x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\)

• Với \(x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \) và x∈(−π;4π) ta có nghiệm:

\({x_1} =  - \frac{\pi }{3},{x_2} = \frac{{5\pi }}{3},{x_3} = \frac{{11\pi }}{3}\)

• Với \(x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \) và x∈(−π;4π) ta có nghiệm:

\({x_4} =  - \frac{{2\pi }}{3},{x_5} = \frac{{4\pi }}{3},{x_6} = \frac{{10\pi }}{3}\)

2/ \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

• Với \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) và x∈(−π;4π) ta có nghiệm :

\({x_1} = \frac{\pi }{2},{x_2} = \frac{{5\pi }}{2}\)

Xem hình vẽ

Câu b:

Tương tự câu a) ta có hình vẽ sau:

1. Nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) thuộc khoảng (−π;4π) là:

\({x_1} =  - \frac{\pi }{3},{x_2} = \frac{\pi }{3},{x_3} = \frac{{5\pi }}{3},{x_4} = \frac{{7\pi }}{3},{x_5} = \frac{{11\pi }}{3}\)

2. Nghiệm của phương trình cosx = −1 thuộc khoảng (−π;4π) là :

\({x_1} =  - \pi ,{x_2} = \pi ,{x_3} = 3\pi \)

---

Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho

a.  \(\sin 2x =  - \frac{1}{2}\) với 0 < x < π

b.  \(\cos \left( {x - 5} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với −π < x < π

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sin 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Với điều kiện 0 < x < π ta có:

• \(0 <  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}},k \in Z\)

Nên k = 1, khi đó ta có nghiệm \(x = \frac{{11\pi }}{{12}}\)

• \(0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{7}{{12}} < k < \frac{5}{{12}},k \in Z\)

Nên k = 0, khi đó ta có nghiệm \(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng (0;π) là:

\(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\) và \(x = \frac{{11\pi }}{{12}}\)

Câu b:

\(\cos \left( {x - 5} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 5 = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x - 5 =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi \\
x =  - \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi 
\end{array} \right.\)

Ta tìm k để điều kiện – π< x < π được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất:

\(\begin{array}{l}
 - \pi  < \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi  \Leftrightarrow  - 7\pi  - 30 < 12k\pi  < 5\pi  - 30\\
 \Leftrightarrow  - \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }}
\end{array}\)

Vì \( - 1,38 <  - \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi}},k \in Z \) nên \( - 1,38 < k <  - 0,37\)

Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = - 1.

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6} + 5 - 2\pi  = 5 - \frac{{11\pi }}{6}\)

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai:

\(- \pi  <  - \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - 5\pi  - 30 < 12k\pi  < 7\pi  - 30\). Vậy k = −1

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là  \(x =  - \frac{\pi }{6} + 5 - 2\pi  = 5 - \frac{{13\pi }}{6}\)

Vậy \(x = 5 - \frac{{11\pi }}{6},x = 5 - \frac{{13\pi }}{6}\)

---

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

\(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in Z,0 < t \le 365\).

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta giải phương trình d(t) = 12 với t ∈ Z và 0 < t ≤ 365

Ta có:

\(\begin{array}{l}
d\left( t \right) = 12 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \\
 \Leftrightarrow t = 182k + 80\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)                 

Ta lại có: \(0 < 182k + 80 \le 65 \Leftrightarrow  - \frac{{80}}{{182}} < k \le \frac{{285}}{{182}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 0\\
k = 1
\end{array} \right.\)

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 (ứng với k = 0) và ngày thứ 262 (ứng với k = 1) trong năm.

Câu b:

Do sinx ≥ − 1 với mọi x nên thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:

\(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] =  - 1\) với t ∈ Z và 0 < t ≤ 365 

Phương trình đó cho ta \(\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = 364k - 11\left( {k \in Z} \right)\)

Mặt khác, \(0 < 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{376}}{{364}} \Leftrightarrow k = 1\) (do k nguyên)

Vậy thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) khi t = 353, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.

Câu c:

Tương tự, ta phải giải phương trình:

\(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\) với t ∈ Z và 0 < t ≤ 365

\(\begin{array}{l}
\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = 364k + 171\\
0 < 364k + 171 \le 365 \Leftrightarrow  - \frac{{171}}{{364}} < k \le \frac{{194}}{{364}} \Leftrightarrow k = 0
\end{array}\)

Vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm.

---

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan 3x = \tan \frac{{3\pi }}{5}\)

b) \(\tan \left( {x - {{15}^0}} \right) = 5\)

c) \(\tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3 \)

d) \(\cot 2x = \cot \left( { - \frac{1}{3}} \right)\)

e) \(\cot \left( {\frac{x}{4} + {{20}^0}} \right) =  - \sqrt 3 \)

f) \(\cot 3x = \tan \frac{{2\pi }}{5}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\tan 3x = \tan \frac{{3\pi }}{5} \Leftrightarrow 3x = \frac{{3\pi }}{5} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{3}\)

Câu b:

\(\tan \left( {x - {{15}^0}} \right) = 5 \Leftrightarrow x = \alpha  + {15^0} + k{180^0}\) trong đó \(\tan \alpha  = 5\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \left( {2x - 1} \right) = \tan \frac{\pi }{3}\\
 \Leftrightarrow 2x - 1 = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{1}{2} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Câu d:

\(\cot 2x = \cot \left( { - \frac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow 2x =  - \frac{1}{3} + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{6} + k\frac{\pi }{2}\)

Câu e:

\(\begin{array}{l}
\cot \left( {\frac{x}{4} + {{20}^0}} \right) =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{x}{4} + {{20}^0}} \right) = \cot \left( { - {{30}^0}} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{x}{4} + {20^0} =  - {30^0} + k{180^0} \Leftrightarrow x =  - {200^0} + k{720^0}
\end{array}\)

Câu f:

\(\cot 3x = \tan \frac{{2\pi }}{5} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi }}{5}} \right) \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{{10}} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{30}} + k\frac{\pi }{3}\)

---

a.Vẽ đồ thị của hàm số y = tanx rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng (−π;π) là nghiệm của mỗi phương trình sau

1. tanx = −1

2. tanx = 0

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cotx và cho mỗi phương trình sau

1.  \(\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

2. cotx = 1

Hướng dẫn giải:

Câu a:

1. Phương trình tanx = −1 có nghiệm thuộc khoảng (−π;π) là:

\(x =  - \frac{\pi }{4},x = \frac{{3\pi }}{4}\)

2. Phương trình tanx = 0 có nghiệm thuộc khoảng (−π;π) là x = 0

Câu b:

 

1. Phương trình  có nghiệm thuộc khoảng (−π;π) là:

\(x = \frac{\pi }{3},x =  - \frac{{2\pi }}{3}\)

2. Phương trình cotx = 1 có nghiệm thuộc khoảng (−π;π) là:

\(x =   \frac{\pi }{4},x =-\frac{{3\pi }}{4}\)

---

Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho

a. tan(2x−15⁰) = 1với −180⁰ < x < 90⁰;

b. \(\cot 3x =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với .

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x = {15^0} + {45^0} + k{180^0} \Leftrightarrow x = {30^0} + k{90^0}\\
 - {180^0} < {30^0} + k{90^0} < {90^0} \Leftrightarrow  - 2 < \frac{1}{3} + k < 1 \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}
\end{array}\)

Vậy các nghiệm của phương trình là x = −150⁰, x = −60⁰ và x = 30⁰

Câu b:  

\(\begin{array}{l}
\cot 3x =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\\
 - \frac{\pi }{2} <  - \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3} < 0 \Leftrightarrow  - \frac{7}{6} < k < \frac{1}{3} \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 1;0} \right\}
\end{array}\)

Vậy các nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{{4\pi }}{9},x =  - \frac{\pi }{9}\).

---

Khi giải phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \); bạn Phương nhận thấy \( - \sqrt 3  = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) và viết \(\tan x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \).

Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy \( - \sqrt 3  = \tan \frac{{2\pi }}{3}\) nên giải như sau:

\(\tan x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \)

Theo em, ai giải đúng, ai giải sai ?

Hướng dẫn giải:

Cả hai bạn đều giải đúng. Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một.

Thực vậy, họ nghiệm \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \) có thể viết lại là \(x = \frac{{2\pi }}{3} - \pi  + \left( {k + 1} \right)\pi \) hay \( - \frac{\pi }{3} + \left( {k + 1} \right)\pi \); đây chính là kết quả mà phương tìm được.

---

Tính các góc của tam giác ABC, biết \(AB = \sqrt 2 cm,AC = \sqrt 3 cm\) và đường cao AH = 1cm. (Gợi ý: Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H và trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H).

Hướng dẫn giải:

Ta xét hai trường hợp:

• TH1: B và C nằm khác phía đối với H

Trong tam giác vuông ABH ta có:

\(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)      

Suy ra \(\widehat B = {45^0}\) (chú ý rằng góc B nhọn)

Trong tam giác ACH ta có:

\(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\), suy ra \(\widehat C \approx {35^0}15'52\)

Từ đó \(\widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx {99^0}44'8\)

• TH2: B và C nằm cùng phía đối với H

Tương tự như trên ta có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {ABC} = {180^0} - \widehat {ABH} = {180^0} - {45^0} = {135^0}\\
\widehat C \approx {35^0}15'52
\end{array}\)

Từ đó \(\widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx {9^0}44'8\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 1 Bài 2 Phương trình lượng giác cơ bản với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.