SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11
TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán lớp 11
(Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (5,0 điểm).
1. Giải phương trình: \({\sin ^2}3x\cos 2x + {\sin ^2}x = 0.\)
2. Cho \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \({x^2} - 3x + a = 0\), \(x_3\) và \(x_4\) là hai nghiệm của phương trình: \({x^2} - 12x + b = 0\). Biết rằng \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm a, b.
Câu II (3,0 điểm).
1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: \(5 \le k \le 2014\).
Chứng minh rằng: \(C_5^0C_{2014}^k + C_5^1C_{2014}^{k - 1} + ... + C_5^5C_{2014}^{k - 5} = C_{2019}^k\).
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
\(m\left( {\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} + 2} \right) = 2\sqrt {1 - {x^4}} + \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} \).
Câu III (3,0 điểm).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = \sin 1\,;\,\,\,{u_n} = {u_{n - 1}} + \frac{{\sin n}}{{{n^2}}}\), với \(\forall n \in N,\,\,n \ge 2\).
Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như trên là một dãy số bị chặn.
Câu IV (3,0 điểm). Cho tứ diện có tam giác đều cạnh bằng và tam giác cân tại với .
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng \(a\) và tam giác BCD cân tại D với \(DC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
1. Chứng minh rằng: \(AD \bot BC\).
2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300.
Câu V (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(2;1), B(- 1;2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng \(x + y - 2 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{{27}}{2}\).
Câu VI (3,0 điểm). Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Chứng minh rằng:
\(\left( {\frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{b^2} + {c^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{c^2} + {a^2}}} + 1} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}\). Đẳng thức xảy ra khi nào?
{-- xem đáp án đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 của Trường THPT Thị xã Quảng Trị ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong đội tuyển HSG Toán 11 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.
>>> Các em có thể làm một số bài thi trắc nghiệm online tại đây :
