|
(Đề thi gồm 01 trang) | KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019 |
.jpg?enablejsapi=1)
Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số \(({u_n})_{n = 1}^{ + \infty }\) bị chặn trên và thoả mãn điều kiện
\({u_{n + 2}} \ge \,\,\,\frac{2}{5}.{u_{n + 1}} + \,\,\frac{3}{5}.{u_n},\) \(\forall \,n = 1,\,\,2,\,\,3,...\)
Chứng minh rẳng dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.
Câu 2 (4 điểm). Cho \(\Delta ABC\) có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB ở D, E, F. Đường thẳng qua A song song BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn (I) tại điểm L khác D.
a) Chứng minh A, K, L thẳng hàng.
b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M, N cắt EF tại U, V. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.
Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các đa thức \(P\left( x \right) \in Z\left[ x \right]\) sao cho với mọi số n nguyên dương, phương trình \(P\left( x \right) = {2^n}\) có nghiệm nguyên.
Câu 4 (4 điểm). Cho p là số nguyên tố có dạng 12k+11. Một tập con S của tập
\(M = \{ 1;\,\,2;\,\,3; \ldots ;\,\,p - 2;\,\,p - 1\} \)
được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của M\S. Ký hiệu \({\Delta _S}\) hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia \({\Delta _S}\) cho p xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng \(\frac{{p - 1}}{2}\) phần tử.
Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác lồi n đỉnh \({A_0}{A_1}...{A_{n - 1}}\,\,\left( {n \ge 2} \right).\) Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------- HẾT --------------
{-- xem đáp án đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 của các Trường THPT Chuyên khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2019 các Trường THPT Chuyên khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong đội tuyển HSG Toán 11 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.
>>> Các em có thể làm một số bài thi trắc nghiệm online tại đây :
